Chapter 5 Verkürzte Kreise, Achtecke und Sechsecke. Gew lbeformen.

Der Kreis in verkürzter Stellung.

§ 88. Die Berechnung der perspectivischen Form eines verkürzten Kreises kann nur darin bestehen, dass gewisse Punkte desselben gewonnen werden, mit deren Hilfe es leichter ist, die Kreislinie aus freier Hand zu zeichnen. Die zu diesem Zweck geeignetsten Punkte sind die Halbierungspunkte der Seiten eines den Kreis einschliessenden Quadrats und ferner die Punkte der Diagonalen in lezterem, welche von der Kreislinie durchschnitten werden, vgl. die geometrische Zeichnung von Quadrat und Kreis in Fig. 93.

Gew?hnlich kann man sich eines Quadrats in gerader Ansicht bedienen. Die Halbierungspunkte der Seiten, a, b, c und d Fig. 93, erh?lt man mittels einer unverkürzten Wagrechten und einer nach dem Augpunkt gehenden Linie, welche durch den Schnittpunkt der Diagonalen gezogen werden. Ein geübter Zeichner wird sich für gew?hnlich mit diesen 4 Hilfspunkten begnügen k?nnen.

Fig. 93.

Um die Punkte der Diagonalen, welche der Kreis durchschneiden muss, m, n, o und p Fig. 93, zu erhalten, wird über oder unter einer der unverkürzten Seiten oder der unverkürzten Mittellinie, also mit A B, C D oder b d, ein senkrecht stehendes Rechteck halb so hoch als breit, z. B. A B F E oder C D G H gebildet und in diesem ein Halbkreis beschrieben. In Fig. 93 werden diese Halbkreise von den Diagonalen a E und a F oder c G und c H in g und h, y und x durchschnitten. Zieht man nun die Senkrechten g i und h k oder y z und x s und 2 Linien von P nach i und k oder durch s und z, so ergeben sich auf den Diagonalen des verkürzten Quadrats die gesuchten Punkte m, n, o und p. Es genügt auch nur eine der Linien nach dem Augpunkt zu ziehen, z. B. i P, um durch 2 unverkürzte Wagrechte von m und p aus die Punkte n und o zu erhalten.

§ 89. Ein anderes Verfahren beruht darauf, dass die Entfernung der Punkte i und k Fig. 93 von a, der Mitte der Linie A B, ebenso gross ist, als die Diagonale eines Quadrats, dessen Seiten je = ein Viertel von A B sind. A f ist ein Viertel von A B. Wird also A e = A f gemacht, so kann die L?nge e f von a aus nach i und k übertragen und so die Lage dieser beiden Punkte und der Punkte m, n, o, p bestimmt werden.

§ 90. In Fig. 94 ist gezeigt, wie mittels derselben Hilfspunkte ein Kreis innerhalb eines Quadrats in schr?ger Ansicht gezeichnet werden kann. Nachdem in A B C D die Diagonalen und Halbierungslinien gezeichnet sind, ist eine Linie aus P durch B nach der durch A gehenden Wagrechten gezogen und A b ebenso geteilt, wie A B in Fig. 93. Statt abw?rts von A aus ist hier seitw?rts das Dreieck b g f gebildet, in welchem b g und g f je = ein Viertel von A b sind; a i und a k werden = b f gemacht und dieselben Verh?ltnisse mittels i P und k P auf die Linie A B übertragen.

Fig. 94.

Aus § 72 Fig. 72 und 75 erhellt, dass man statt P auch einen beliebigen andern Punkt des Horizonts benüzen k?nnte, um von demselben eine Linie durch B nach der Linie A g zu ziehen und sodann wie oben weiter zu verfahren.

Statt durch A k?nnte man auch durch C eine Wagrechte und von D eine Linie nach P ziehen, um auf dieselbe Weise wie oben die Punkte e und c, m und n zu bestimmen.

Aus Fig. 94 ist zugleich die Anwendung der beiden in § 88 und 89 angegebenen Berechnungsweisen auf einen senkrecht stehenden Kreis zu ersehen. Es ist klar, dass hiebei die zwei senkrechten Seiten des Quadrats an Stelle der unverkürzten wagrechten treten und dass die Linien A E, B F, i g, h k der Fig. 93 jezt als Wagrechte gezeichnet werden müssen. Das übrige ergibt sich deutlich genug aus den Linien der Fig. 94.

Parallele und concentrische Kreise.

§ 91. Fig. 95 zeigt 2 in gleicher H?he stehende parallele Kreise. Der eine ist von dem Quadrat a b c d, der andere von e f g h umschlossen. Die Schnittpunkte der Diagonalen a c und b d, e g und f h ergeben die beiden Mittelpunkte y und z; die Punkte o, p, i, k sind auf die oben angegebene Weise bestimmt, die entsprechenden 4 Punkte auf e g und f h durch Linien, welche parallel mit a e und b f von k, o, p, i nach links gezogen sind.

Fig. 95.

§ 92. In Fig. 96 soll, nachdem der Kreis A B C D gegeben ist, durch a ein Kreis mit dem gemeinschaftlichen Mittelpunkt i, sodann durch F ein mit A B C paralleler Halbkreis gezeichnet werden. Zun?chst wird C c = A a gemacht, sodann das Quadrat des inneren Kreises gebildet, indem man durch a und c Linien nach dem Augpunkt zieht und die Punkte m und n, o und p, in welchen hiedurch die Diagonalen des gr?sseren Kreises geschnitten werden, durch 2 Wagrechte verbindet. Die Halbierungspunkte der Seiten dieses kleineren Quadrats sind a b c d. Die Punkte der Diagonalen, durch welche der innere Kreis geht, k?nnen auf die § 88–89 angegebene Weise bestimmt werden, doch sind sie, wenn der Massstab der Zeichnung kein sehr grosser ist, entbehrlich, nachdem die Linie des ?usseren Kreises gezeichnet ist.

Fig. 96.

Um den unteren Halbkreis zu zeichnen, wird die durch F gehende E G mittels h E und k G = h k gemacht und das Quadrat E G g e gebildet, womit für den unteren Kreis ausser F die Punkte s, r und f gegeben sind. Die Punkte der Diagonalen E g und G e, welche er durchschneiden muss, ergeben sich durch die von m, n, o, p abw?rts gezogenen Senkrechten.

Teilung eines verkürzten Kreises.

§ 92. In Fig. 96 ist zugleich gezeigt, wie diese Kreise in eine beliebige Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden k?nnen: mit dem Halbmesser F G ist von F oder von H aus ein Halbkreis gebildet, der mit dem Zirkel auf die gewünschte Weise, hier in 8 Teile, geteilt wird. Hierauf sind von den Teilungspunkten senkrechte Linien bis E G und von da Linien parallel mit E e und G g, d. h. nach P bis zur Linie des unteren Halbkreises gezogen. Das Weitere ist aus der Figur ersichtlich, vgl. die Teilung eines verkürzten Kreises in 8 oder 6 Teile, Fig. 100–104.

Verkürzte Achtecke.

§ 93. Wie Fig. 97 zeigt, entsteht ein Achteck, wenn dieselben 8 Punkte, welche zur Darstellung des Kreises dienten, durch gerade Linien verbunden werden, n?mlich die Halbierungspunkte der Seiten eines Quadrats und die Punkte seiner Diagonalen, welche von einem in demselben beschriebenen Kreis durchschnitten werden. Die perspectivische Form eines verkürzten Achtecks, welches die in Fig. 97 angenommene Stellung zu den Seiten eines gegebenen Quadrats hat, bedarf also keiner weiteren Erkl?rung.

Fig. 97.

Etwas Anderes ist es, wenn ein Quadrat oder eine Seite eines Quadrats gegeben ist, in welchem ein Achteck wie a b c d e f g h in A B C D Fig. 98 gezeichnet werden soll, d. h. so, dass s?mtliche 8 Ecken in den 4 Seiten des Quadrats liegen. Die geometrische Construction würde darin bestehen, dass die 4 von i, dem Mittelpunkte des gegebenen Quadrats, nach den Halbierungspunkten der Seiten gehenden Linien über diese hinaus um soviel verl?ngert würden, dass jede die L?nge einer halben Diagonale des Quadrats h?tte, also i m, i n, i o und i p je = i A w?ren. Durch Verbindung der Punkte m, n, o und p entsteht ein zweites dem ersten gleiches Quadrat und die Verbindungslinien der Punkte b und c, d und e, f und g, h und a ergeben das Achteck.

Fig. 98.

Ist nun das verkürzte Quadrat A B C D Fig. 99 gegeben, so kann eine der unverkürzten Seiten z. B. C D benüzt werden, um mit einer H?lfte derselben ein gleichschenkliges Dreieck C E F zu bilden. Wird hierauf E k = E F gemacht, so ist das ?ussere Quadrat H G K L leicht zu bilden: eine Linie von P durch k schneidet die verl?ngerten Diagonalen A C und D B in H und G und 2 unverkürzte Wagrechte von hier aus ergeben die Punkte L und K. Hiermit sind auch die Punkte m, n, o und p und die Seiten des Achtecks gegeben.

Fig. 99.

Oder k?nnte auch die L?nge E F von C nach f und von D nach e getragen werden – denn aus Fig. 98 ist ersichtlich, dass C f oder D e = C i sind – um hierauf die weiteren Constructionslinien teils parallel mit den Diagonalen, teils parallel mit den Seiten des Quadrats A B C D zu ziehen.

W?re statt des Quadrats A B C D a b als Seite eines zu zeichnenden Achtecks gegeben, so würde man mit der H?lfte derselben ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck b z y bilden, b B und a A = y b machen und hierauf das Quadrat A B C D construieren, um wie oben zu verfahren; vgl. die geometrische Zeichnung Fig. 98.7

§ 94. Fig. 100 zeigt die Construction eines Achtecks, wenn ein solches anschliessend an die Seiten eines Quadrats in schr?ger Ansicht gezeichnet werden soll.

Fig. 100.

Angenommen, es sei das Quadrat A B C D gegeben, so ziehe man eine unverkürzte Wagrechte durch A und eine Linie von P durch B nach E. Die perspectivischen Verh?ltnisse, in welche A B zu teilen ist, k?nnen nun auf A E geometrisch angegeben und durch Linien, welche mit E B parallel sind, auf A B übertragen werden (vgl. Fig. 72 und 75). Man bildet entsprechend Fig. 98 mit der H?lfte von A E ein gleichschenkliges Dreieck p E y, macht A o und E s je = p y und zieht von s und o zwei mit E B parallele Linien nach a und b. Zieht man nun von a und von b aus zwei Linien nach r, dem Fluchtpunkte der Diagonale A C, zwei weitere parallel mit A D und B C, so erh?lt man die Punkte c, d, e und f, durch eine Linie von r durch f den Punkt g und ist schliesslich noch die mit B D und e d parallele Seite a h zu zeichnen.

Der Augpunkt ist übrigens nur zuf?llig benüzt; es k?nnte statt desselben ein beliebiger Punkt des Horizonts gew?hlt werden.

Nehmen wir an, dass a b Fig. 100 als Seite eines zu zeichnenden Achtecks gegeben sei, so w?re das Verfahren ein ?hnliches wie oben: von P (oder einem andern Punkte des Horizonts) wird eine Linie nach der durch a gehenden Wagrechten gezogen, a n in m halbiert, ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck a m t gebildet und n x sowie a z je = m t gemacht. Die von P nach x und durch z gezogenen Linien ergeben die Punkte A und B, es kann nun mit A B das Quadrat A B C D gebildet werden u. s. w.

§ 95. Es kann auch der Fall eintreten, dass ein verkürzter Kreis gegeben ist und innerhalb desselben von einem bestimmten Punkte aus ein Achteck gezeichnet werden soll.

Fig. 101.

Es sei z. B. die Aufgabe gestellt, in dem verkürzten Kreise A B C D Fig. 101 von dem Punkte a aus ein Achteck zu zeichnen. o D ist = D F gemacht, mit der Zirkelweite D F von o aus ein Halbkreis e D f beschrieben und eine Linie von P durch a nach c gezogen; o x wird rechtwinklig zu o b, durch die Mitte von b x der Halbmesser o z und rechtwinklig zu diesem o y gezogen (vgl. Fig. 97), worauf die Punkte x y z mittels senkrechter Linien nach E F gebracht und von hier durch die aus m, n und dem Punkte zwischen z und g nach P gezogenen Linien auf den Kreis übertragen werden. Die 4 jenseitigen Punkte sind durch den Mittelpunkt des Kreises, beziehungsweise den Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, gegeben.

Verkürzte Sechsecke.

§ 96. Die geometrische Construction eines Sechsecks besteht darin, dass ein Kreis in 6 Teile geteilt wird, von welchen jeder die Gr?sse eines Halbmessers jenes Kreises hat: man gibt – Fig. 102 – dem Zirkel die Weite eines Halbmessers z. B. O B, schneidet von B aus den Kreis in C, von C aus in D u. s. w. und verbindet diese Punkte durch gerade Linien. Zieht man von den 6 Ecken Linien nach dem Mittelpunkt O, so entstehen 6 gleichseitige Dreiecke; schliesst man das Sechseck in ein Rechteck, wie H K M N ein, so sind die beiden l?ngeren Seiten je = 2 Seiten des Sechsecks: H K ist gleich 2 mal A B, H G = A B; H A, A G, G B und B K sind gleich gross. Die kürzeren Seiten sind je = 2 mal G O; H F und F N sind je = G O.

Fig. 102.

Ist nun a b als Seite eines verkürzten Sechsecks, P als Augpunkt und D/3 als Drittel der Distanz gegeben, so wird b k und a h je = der H?lfte von a b gemacht, ein gleichseitiges Dreieck a i b gebildet (indem von a und b aus 2 Kreise mit der Zirkelweite a b beschrieben werden, welche sich in i schneiden) und k c = g i gemacht durch eine Linie aus D/3, nach y (k y = ein Drittel von g i). Hiemit sind das Rechteck h k m n und die weiteren Punkte d, e und f gegeben.

§ 97. In Fig. 103 ist angenommen, dass h n als kürzere Seite des von unten gesehenen Rechtecks, P als Augpunkt und D/2 als halbe Distanz gegeben sei, in f also eine Ecke des Sechsecks liege. Beschreibt man von n und von f aus zwei Kreisb?gen mit der Zirkelweite n f, so schneiden sich dieselben in s und es entsteht, indem durch s eine rechtwinklig zu f s stehende Linie bis zu den in f und n errichteten Senkrechten gezogen wird, ein gleichseitiges Dreieck, dessen Mittellinie s f = f n oder = f h ist, dessen Seiten also (vgl. § 96, Fig. 102) auf die durch f gehende Wagrechte übertragen, die L?nge einer Seite des zu zeichnenden Sechsecks darstellen. h p ist = f z; die von h nach P gehende Seite des zu bildenden Rechtecks muss also = 2 mal h p sein (wie H K Fig. 102 = 2 mal A B ist), was durch eine Linie von D/2 nach p erreicht wird. Ist so das Verh?ltnis der Seiten in dem Rechteck h k m n das gleiche, wie in H K M N Fig. 102, so bleibt nur noch übrig, dasselbe mittels Diagonalen wie dort in 4 gleiche Teile zu teilen, um die weiteren Ecken zu erhalten.

Fig. 103.

§ 98. In Fig. 104 soll von dem Punkte d des Kreises A B C D aus ein Sechseck gezeichnet werden. Das Quadrat des Kreises ist E F G H. Wie in Fig. 101 ist E e und F f = der H?lfte von E F gemacht und von o aus ein Halbkreis beschrieben, auf welchem x dem Punkte d des verkürzten Kreises entspricht (mittels P d m und m x). Von x aus schneidet der Zirkel mit der Weite eines Halbmessers D o oder x o den Halbkreis in b, von hier aus in y, und diese beiden Punkte werden auf die mehrfach beschriebene Weise nach a und c übertragen; Linien aus d, a und c durch den Mittelpunkt des Quadrats gezogen, ergeben die 3 jenseitigen Ecken.

Fig. 104.

Weitere Beispiele. Rad, Wasserrad, Walze, Cylinder.

§ 99. Fig. 105 zeigt die Anwendung von § 91 Fig. 95 auf 2 durch eine Achse verbundene R?der. Der Deutlichkeit wegen sind hier sowie in der folgenden Figur nur die wichtigsten Constructionslinien angegeben, mit deren Hilfe das übrige ohne Schwierigkeit, so genau als der malerische Zweck erfordert, erg?nzt werden kann.

Fig. 105.

In Fig. 106 sind zun?chst die 4 Kreise entsprechend Fig. 95 und 96 gezeichnet. Hierauf ist der durch a b c gehende Halbkreis in 5 gleiche Teile geteilt und diese Teilung auf die andere H?lfte übertragen (vgl. Fig. 101 und 104), indem nach dem Halbkreis c d a Linien von jenen Teilpunkten aus durch den Mittelpunkt gezogen wurden. Diese Linien ergeben zugleich die Stellung der einzelnen Schaufeln; die wagrechten Linien der lezteren sind parallel mit e f, g h und o n; die Verbindungslinien der Punkte i und k, y und z u. s. w. gehen durch den Mittelpunkt n.

Fig. 106.

§ 100. In Fig. 107 ist der Kreis a b c d als vorderer Durchschnitt einer wagrecht liegenden Walze angenommen. Da derselbe unverkürzt ist und die durch i gehende Achse der Walze geometrisch rechtwinklig zu d b steht, so sind von d und b 2 Linien nach dem Augpunkt gezogen und dieselben an beliebiger Stelle durch die Wagrechte h f verbunden. Ein Kreis aus o, der Mitte von h f, durch h und f beschrieben, ergibt e f g h als den ferner liegenden Durchschnitt, worauf vom Augpunkt aus 2 die beiden Kreise berührende Linien (Tangenten) parallel mit i o als Aussenlinien der Walze gezogen werden.

Fig. 107.

Um den Cylinder Fig. 108 zu construieren, sind den beiden vorderen Kreisen entsprechend auf die oben gezeigte Weise die beiden ferneren zu zeichnen.

Fig. 108.

Dieselben Formen mit verkürzter Ansicht des Kreises zu zeichnen, bietet hienach keine Schwierigkeit. Man achte dabei auf die bereits erw?hnte geometrisch rechtwinklige Stellung der Achse und der Seitenlinien zur Kreisfl?che, beziehungsweise zu einem Durchmesser derselben.

Tonnengew?lbe, Kreuzgew?lbe, Spizbogen, Kuppel.

§ 101. Fig. 109 stellt ein sogenanntes Tonnengew?lbe dar. Dasselbe hat die Form eines halben Cylinders, welcher in Fig. 109 auf den nach dem Augpunkt gehenden Linien a e und b f ruht. Die Construction besteht einfach darin, dass über a b und e f je ein Halbkreis von den Mittelpunkten c und d aus beschrieben wird. Die Fugenlinien des Gew?lbes gehen teils parallel mit a e und b f, teils sind sie Teile von Halbkreisen, welche mit den beiden ersteren parallel sind, deren Mittelpunkte somit in der Linie c d liegen. So ist der Mittelpunkt des Halbkreises m n p da, wo die Wagrechte m p von c d durchschnitten wird, in o. Die Fugenlinien g h, i k u. s. w. haben die Richtung nach c, dem Mittelpunkt der beiden durch k h und i g gehenden Halbkreise.

Fig. 109.

§ 102. Fig. 110 zeigt die Hauptlinien eines von aussen und oben gesehenen rundbogigen Kreuzgew?lbes. A B C D ist ein Quadrat; über jeder Seite desselben erhebt sich ein Halbkreis, die gegenüberliegenden Ecken des Quadrats, A und C, B und D, sind nach oben verbunden durch 2 elliptische Linien, die sogenannten Diagonalrippen oder -gurten, welche sich über den Diagonalen A C und B D hinziehen. Der Scheitelpunkt n des Gew?lbes, in welchem die beiden Ellipsen sich durchschneiden, liegt senkrecht über der Kreuzung der Diagonalen A C und B D, er ist zugleich Schnittpunkt der Diagonalen E z und F t. Es entstehen so 4 Gew?lbefelder oder Kappen, welche je von einem Halbkreis und 2 H?lften jener Ellipsen begrenzt werden, z. B. von A m B, A n und B n, vgl. die innere Ansicht Fig. 111–113.

Fig. 110.

Bei der perspectivischen Construction einer solchen Gew?lbeform handelt es sich, nachdem über jeder Seite des zu Grunde gelegten Quadrats ein Halbkreis gezeichnet ist, haupts?chlich um die Bestimmung einiger weiteren Hilfspunkte ausser dem durch E z und F t gegebenen Punkte n behufs Darstellung der beiden elliptischen Linien. Die Halbkreise A m B und A h D werden von 2 Linien, welche man aus E nach der Mitte von A B und von A D zieht, in a und in b geschnitten. Diese beiden Punkte liegen in gleicher H?he; zieht man aus a eine Linie parallel mit A D, also nach dem Augpunkt, und aus b eine Parallele mit A B, d. h. eine unverkürzte Wagrechte, so müssen diese beiden Linien in dem Punkte c der von A ausgehenden Ellipse A n C zusammentreffen, welcher mit a und b in gleicher H?he liegt und kann somit dieser Punkt benuzt werden, um A c n zu zeichnen.

Dem Punkte a entspricht auf der rechten Seite e, eine Linie von hier nach dem Augpunkt und eine Wagrechte aus c schneiden sich in d. Die entsprechenden jenseitigen Punkte der beiden Ellipsen ergeben sich durch die aus a und e nach dem Augpunkt gehenden Linien und eine Wagrechte von g nach f oder umgekehrt.

§ 103. Fig. 111 zeigt dieselben Linien von unten und von innen gesehen, mit dem Unterschied, dass die 2 Seitenkappen geschlossen bis A D und B D herabgehen (wie auch in Fig. 113). Der Fluchtpunkt dieser und der mit ihnen parallelen Linien ist wiederum der Augpunkt; A B, C D und die beiden Halbkreise sind unverkürzt. Um die beiden Diagonalgurten zu zeichnen, ist hier ein anderer Weg eingeschlagen. In Fig. 110 liegen die Punkte y und x in gleicher H?he mit a, b und f. Zieht man von y eine mit A C und E z parallele Linie nach x, von E und z 2 Linien nach p, so erh?lt man da, wo die Linie y x von E p und z p geschnitten wird, gleichfalls die Punkte c und s, welche nun mittels unverkürzter Wagrechter nach d und r übertragen werden k?nnen.

Fig. 111.

In Fig. 111 entspricht das senkrecht stehende von unten gesehene Rechteck E A C z dem Rechteck E A C z in Fig. 110; auch die übrigen einander entsprechenden Punkte beider Figuren sind durch dieselben Buchstaben bezeichnet. Der Halbkreis A m B wird von der Diagonale E G in a geschnitten. Zieht man von a eine Wagrechte nach y und von y eine mit E z parallele Linie nach x, so erh?lt man durch E p und z p die Punkte c und s u. s. w.

§ 104. In Fig. 112 ist von einem beliebigen Punkte a des Halbkreises A m B eine Senkrechte nach o und von hier eine Linie parallel mit E y d. h. nach dem Augpunkt gezogen, welche die Diagonalen des Quadrats E F z y in i und k schneidet. Zieht man nun von i und k 2 Senkrechte nach der aus a nach dem Augpunkt gehenden Linie, so erh?lt man die Punkte c und r, vgl. dieselben Punkte in Fig. 110.

Fig. 112.

Durch eine Wagrechte aus a nach e, eine Linie von e nach dem Augpunkt und 2 Wagrechte aus c und r ergeben sich sodann d und s.

Fig. 113.

Wenn die seitlichen Kappen, wie in Fig. 113, geschlossen bis auf die wagrechte Linie herabgehen, auf welcher das Gew?lbe ruht, so ist das leztgenannte Verfahren bequemer als das in § 102 beschriebene. Die Anwendung desselben auf Fig. 113 ist aus den Constructionslinien zu ersehen. A m B ist hier nicht ein Halbkreis, sondern ein flacher Bogen, ein sogenannter Korbbogen. Der obere Teil desselben ist aus dem senkrecht unter G liegenden Punkte g beschrieben, die Fortsezung bis A und B kann leicht aus freier Hand erg?nzt werden.

§ 105. Ein Spizbogen wird gebildet durch 2 sich durchschneidende B?gen, wie A, B, C Fig. 114 zeigen. In A sind die beiden B?gen von a und von b aus mit der Zirkelweite a b beschrieben, in B von den Punkten m und n aus mit der Weite m c, in C von o und i aus mit der Weite i e (m d = n c, o e = i f). Die den Spizbogen umgebenden Fugenlinien haben die Richtung nach dem Mittelpunkte des betreffenden Bogens: in A nach a und b, in B nach m und n, in C nach i und o.

Fig. 114.

Sind mehrere in einer Flucht liegende Spizb?gen in verkürzter Stellung zu zeichnen, so bilde man das Rechteck eines Spizbogens z. B. a b c d Fig. 115 und ziehe in demselben die senkrechte Mittellinie. Man kann nun eine der Bogenlinien z. B. a B (leichter als b B) aus freier Hand zeichnen und den Punkt o, in welchem sie von der Diagonale A d geschnitten wird, mittels e f, A c, g C u. s. w. nach n, m u. s. w. übertragen, was für gew?hnlich genügen wird. Ist gr?ssere Genauigkeit erforderlich, so kann mit Hilfe eines Distanzpunktes anschliessend an a d ein unverkürztes Rechteck a d z y gebildet und a h als geometrische Form der anstossenden unverkürzten Bogenlinie gezeichnet werden, worauf der Punkt i nach e und von hier nach o, n, m u. s. w. übertragen wird.

Fig. 115.

§ 106. Als Beispiel eines spizbogigen Kreuzgew?lbes ist in Fig. 116 der Deutlichkeit wegen die einfachste Form eines solchen gew?hlt; es wird jedoch nicht schwierig sein, das dabei angewandte Verfahren auf andere Formen, welche sehr mannigfaltiger Art sein k?nnen, anzuwenden. Die Mittelpunkte der Bogen A m und B m, D o und C o sind in a und b, e und f. A a ist ein Viertel von A B, A B C D ist ein Quadrat. A i ist = A B; eine Linie von B nach i stellt also die geometrische L?nge der Diagonale A C dar. Es ist nun ein Rechteck G H h g gebildet, in welchem G H = B i = A C und G g = A E ist; G H h g ist somit die geometrische Form des verkürzten Rechtecks A E z C; der von g nach h führende Bogen ist = der von A nach C führenden Diagonalrippe. Da G g die H?lfte von G H ist, so ergibt sich, dass jene Diagonalrippe ein Halbkreis ist. Wird nun E y = G k gemacht, so kann die Lage der Punkte c, s, d und r wie bei Fig. 111 bestimmt werden.

Fig. 116.

§ 107. Fig. 117 zeigt eine von oben gesehene, in 8 Felder geteilte Halbkugel. Der ihren ?usseren Umriss bildende Halbkreis ist mit dem Zirkel vom Mittelpunkt der Linie A a aus beschrieben. Indem die Linien A i und a i zugleich als Teilungslinien angenommen wurden, ergeben sich die weiteren Teilpunkte der durch A und a gehenden Kreislinie, n?mlich B, C, D, b, c und d, durch die Halbierungslinie und Diagonale des jenen Kreis umschliessenden Quadrats, und es stellt sich der von C durch i nach c führende Halbkreis als Eine senkrechte Linie dar. Um die verkürzten Halbkreise B m o b und D n p d zu zeichnen, ist das Quadrat E F G H (E B = der H?lfte von B D) senkrecht über B D b d gebildet, in welchem die auf bekannte Weise bestimmten Punkte m, n, o, p als Hilfspunkte für jene Halbkreise dienen.

Fig. 117.

§ 108. In Fig. 118 sei der durch A B C D gehende Kreis und in diesem der Punkt B gegeben, um von hier aus eine achtseitige eif?rmige Kuppel und darüber eine gleichfalls achtseitige Laterne zu zeichnen.

Fig. 118.

Die Teilung des Kreises in 8 Teile ist in § 95 Fig. 101 gezeigt. Die Ausführung in Fig. 118 ist nur insofern verschieden, als hier die Constructionslinien an die fernere Linie des den Kreis einschliessenden Quadrats nach unten angefügt sind. Sodann ist entsprechend dem Umfang, welchen die Laterne haben soll, ein kleinerer Kreis von demselben Mittelpunkt y aus gezeichnet, welcher durch den von A, B, C, D nach y gehenden Halbmessern in den Punkten a b c d geschnitten wird. Die in a b c d errichteten Senkrechten bilden die Ecklinien der 3 sichtbaren Seiten der Laterne, welche oben und unten durch Parallelen der Linien A B, B C und C D begrenzt sind. Die Linien A n, B e, C o und D m treffen in ihrer Verl?ngerung zusammen in einem Punkte der senkrechten Mittellinie, hier in z, und es ist zu beachten, dass dieser Punkt bei einer derartigen Kuppelform h?her liegen muss, als der Mittelpunkt des Kreises, welcher durch n, e, o, m geht, hier also h?her, als x.

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Fu?noten

1 Anm. Das Notwendigste und zugleich Einfachste sind ausser einigen Grundbegriffen (§§ 1–15) die allgemeinen Regeln über die Richtung der verkürzten parallelen und wagrechten Linien (§§ 20–29, § 37); n?chst diesen die §§ 30–36, 41–64, 71–73, 86–92, 99–101, § 105. Der Grad von perspectivischer Genauigkeit, welcher mit Hilfe dieser Abschnitte zu erzielen ist, mag in vielen F?llen genügen.

2 Mit dem Ausdruck ?Bild? wird sowohl der perspectivisch gesehene Gegenstand selbst, als die perspectivische Darstellung desselben bezeichnet.

3 Man k?nnte aus der Kugelgestalt der Erde schliessen, dass die Grenzlinie der Meeresfl?che oder einer grossen Ebene nicht eine gerade Linie sei und nicht genau in der H?he des Auges liege. Aber im Verh?ltnis zur Gr?sse des Erdballs ist der Teil, welchen wir mit Einem Blick übersehen k?nnen, so klein, dass er wie eine wagrechte Fl?che, seine Grenzlinie vollst?ndig wagrecht erscheint und angenommen werden kann, dass leztere in gleicher H?he mit dem Auge liege.

4 Ein geschickter Zeichner mag sich allerdings zuweilen Abweichungen von dieser wie von andern Regeln gestatten, aber um zu wissen, wo und wie er dies thun kann, ohne dass die Wirkung seiner Zeichnung eine falsche oder zum mindesten unsch?ne wird, muss er vor allem die Regel kennen, welche hiedurch nichts an ihrer Giltigkeit verliert.

5 In einer senkrechten Fl?che k?nnen sowohl senkrechte als wagrechte und schr?ge Linien liegen, in einer schr?gen Fl?che nur schr?ge und wagrechte, in einer wagrechten Fl?che nur wagrechte Linien, vgl. die Fl?chen A, D und C, Fig. 19.

6 Statt des bei k und D stehenden Buchstaben b ist ein t zu sezen.

7 Fig. 99 ist insofern ungenau, als b B und a A etwas kleiner sind als y b. Der Fehler wurde zu sp?t bemerkt und ist so geringfügig, dass es genügen dürfte, hiedurch darauf aufmerksam zu machen.

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Weitere Anmerkungen zur Transkription

Offensichtliche Satzfehler und fehlende Auszeichnungen wurden stillschweigend korrigiert.

Die Abbildungen wurden soweit wie m?glich zu den entsprechenden Paragraphen verschoben.

Die Korrekturliste von S. VIII wurde eingearbeitet, diese Korrekturen sind hier einzeln aufgeführt.

Der doppelte Paragraph § 92 wurde beibehalten.

Die Seitennummern der ganzseitigen Illustrationen (13, 16, 18, 25, 35, 54, 56, 68, 85, 102, 110, 112, 114, 128) wurden entfernt.

Korrekturen:

Seite V: Bedürfniss → Bedürfnis

haben dem Verfasser das Bedürfnis

Seite VIII: paralleller → paralleler, Gr??enverh?ltniss → Gr?ssenverh?ltnis

Perspectivisches Gr?ssenverh?ltnis nicht paralleler Linien

S. 4: Sachlicher Fehler (nicht korrigiert):

Die beiden Diagonalen eines Parallelogramms sind gleich lang,

S. 17: desto schmaler, je h?her wir stehen erg?nzt

je tiefer wir stehen, desto schmaler, je h?her wir stehen, desto breiter erscheint uns dieselbe,

S. 26: a d und b c vertauscht

da b c ferner liegt als a d,

S. 50: g → B

und zieht von B durch p eine Linie

S. 57: E → F

Oder kann von F eine mit D E parallele

S. 62: m d → n a

d h ist = n a gemacht

S. 72: b → B

Mitte eines Quadrats (A B p f)

S. 99: die → der

so ist b f = die H?lfte von B b;

S. 122: Atwas → Etwas

Etwas Anderes ist es,

S. 133: Coustruction → Construction

Die Construction besteht einfach darin,

S. 135: y → t

dem durch E z und F t gegebenen Punkte n

S. 136: ruht nach vorn verschoben

auf welcher das Gew?lbe ruht,