Chapter 4 Die perspectivischen Gr ssenverh ltnisse.

Unterscheidung der verschiedenen Aufgaben.

§ 62. Wir sind in § 22 ausgegangen von dem wichtigsten Gesez in Betreff der perspectivischen Gr?ssenverh?ltnisse, wonach jeder Gegenstand im Verh?ltnis seiner Entfernung vom Auge kleiner zu werden scheint. Ferner wissen wir aus § 8, dass wir es nur mit der perspectivischen Gr?sse solcher Linien zu thun haben, deren geometrisches Gr?ssenverh?ltnis zu andern Linien ein symmetrisches, regelm?ssiges und notwendiges ist.

Es lassen sich in dieser Beziehung 3 F?lle unterscheiden: 1) Parallellinien, welche in Wirklichkeit gleich lang sind, aber verschiedene Entfernung vom Auge haben (in verschiedener Tiefe sich befinden), wie z. B. in Fig. 62 die senkrechten Umrisslinien der 3 gr?sseren Fenster. 2) Verkürzte Linien, auf welchen sich gleich grosse Masse wiederholen, oder welche nach bestimmten symmetrischen Verh?ltnissen geteilt sind, wie die Linie i k Fig. 62, wenn die Fenster in Wirklichkeit gleiche Breite und gleiche Abst?nde haben. 3) Verkürzte Linien, welche zu einer nicht parallelen Linie in einem bestimmten Gr?ssenverh?ltnisse stehen, wie die Seiten eines verkürzten Quadrats oder die Teile der Linie i s Fig. 62, wenn die Fenster und Zwischenr?ume in Wirklichkeit auf beiden Seiten gleiche Breite haben.

Parallellinien von gleicher L?nge in verschiedener Tiefe.

§ 63. Die Berechnung der perspectivischen L?nge paralleler Linien, welche geometrisch gleich gross sind, aber in ungleicher Tiefe liegen, geschieht nach dem § 1 angeführten Geseze, dass parallele Linien, welche zwischen 2 gleichfalls parallelen Linien liegen, gleich lang sind.

Mehrfache Beispiele sind schon in den vorangegangenen Figuren enthalten, z. B. in Fig. 20 sind i k und c d, g h und a b perspectivisch gleich lang (stellen Linien dar, welche geometrisch gleich lang sind), weil sie als unverkürzte Wagrechte unter sich parallel sind und die Linien a P und b P, c P und d P, zwischen welchen sie liegen, gleichfalls perspectivisch parallel sind, vergl. die gleich langen Linien a i, b g, k e und f h, oder a e und c d in Fig. 36, ?hnliche Linien in Fig. 40 und 41 und andere. Soll in Fig. 62 die Linie r x massgebend sein für die H?he der übrigen Fenster, so werden durch r und x 2 Linien parallel mit den wagrechten Linien dieser Seite bis zu der senkrechten Ecklinie gezogen und von lezterer aus auf der andern Seite parallel mit a c fortgesezt, wodurch s?mtliche zwischen diesen Parallelen liegende senkrechte perspectivisch gleich lang sind.

§ 64. In Fig. 63 sei die Aufgabe gestellt, die H?he der Figur a b auf die in derselben wagrechten Fl?che liegenden Punkte c, e und g zu übertragen oder auf den leztgenannten Punkten Figuren von gleicher H?he mit a b zu zeichnen. Ziehen wir von a durch c eine Linie nach dem Horizont, und nach dem Punkte x, wo sie denselben trifft, eine zweite von b aus, so sind alle senkrechten Linien, welche zwischen den 2 Parallellinien a x und b x liegen, perspectivisch gleich hoch. Eine Linie von a durch e oder von g durch a nach dem Horizont würde diesen in 2 weit ausserhalb der Zeichenfl?che liegenden Punkten treffen. Man benüzt daher 2 von a und b nach einem beliebigen Punkt des Horizonts gezogene Linien, z. B. a x und b x, zieht von e eine unverkürzte Wagrechte nach i und errichtet dort die Senkrechte i k, welche somit in gleicher Tiefe mit e steht und mittels einer unverkürzten Wagrechten von k aus auf die gewünschte Stelle übertragen werden kann. Da eine von g aus nach der verl?ngerten x a gezogene Wagrechte die leztere nicht mehr innerhalb der Zeichenfl?che erreichen würde, so ist ein Punkt y wie oben benüzt, von g eine Wagrechte nach der verl?ngerten y a, d. h. nach m gezogen, m n = a b gemacht und ist somit auch g h = a b.

Fig. 63.

Liegt der Horizont in gleicher H?he mit dem oberen Ende einer senkrechten Linie, z. B. in der Scheitelh?he einer menschlichen Figur, so ist die H?he aller gleich grossen senkrechten Linien oder anderer Figuren, welche in derselben wagrechten Fl?che stehen, durch die Horizontlinie gegeben, vgl. Fig. 64.

Fig. 64.

§ 65. In Fig. 65 sei A B gegeben und sollen 2 weitere Figuren in f und g, d. h. in 2 Punkten gezeichnet werden, welche in gleicher H?he und gleicher Tiefe mit den Punkten a und e liegen. Zu diesem Zweck sind die durch a und e gehenden Senkrechten verl?ngert bis zu der wagrechten Fl?che, auf welcher A B steht, also bis o und p, und ist auf die oben beschriebene Weise o c = A B gemacht. Die H?he o c kann nun mit dem Zirkel nach a d und von hier mittels einer Wagrechten nach f k übertragen werden. e p ist = o c = e b, somit ist auch g h = A B.

Fig. 65.

§ 66. In Fig. 66 ist angenommen, dass A B als H?he einer in A stehenden Figur gegeben sei und der Punkt C, in welchem eine zweite Figur stehen soll, um 3 Stufen tiefer liege, als die obere Fl?che. Man errichte eine Senkrechte in g, mache i g = 3 mal g e, d. h. = a g, und i p = a b, d. h. = A B, ziehe i P und p P, eine Wagrechte von C nach m und errichte eine Senkrechte in m bis p P, so ist m n und folglich auch C D = A B.

Fig. 66.

W?re die H?he A B auf eine der beiden andern Stufen oder auf irgend einen Punkt der Fl?che, in welcher g liegt, zu übertragen, so würde man bei b d, d f und f h = g e, e c und c a machen, so dass g h, e f und c d je = a b = A B w?ren und k?nnte hierauf jede dieser Senkrechten auf einen beliebigen Punkt der Fl?che, in welcher ihr unteres Ende liegen soll, wie oben übertragen werden.

§ 67. In Fig. 67 ist die mit a b gleiche H?he einer in c stehenden Figur berechnet, indem von c abw?rts eine mit d f und g h parallele schr?ge Linie bis i, d. h. bis zu der wagrechten Ebene, in welcher a liegt, gezogen, die H?he a b nach i k und hierauf mittels der weiteren schr?gen Parallellinien k e nach c übertragen wurde. In einem derartigen Falle ist vorauszusezen, dass der Fluchtpunkt oder das Massdreieck einer in der betreffenden schr?gen Fl?che liegenden schr?gen Linie, wie hier g m h, bekannt sei. Ein ?hnliches Beispiel zeigt Fig. 35: Die H?he g i ist zuerst mittels g n und i n nach f übertragen, wo die wagrechte Fl?che beginnt, in welcher eine zweite Figur stehen soll. Die H?he der lezteren ergibt sich sodann durch f P und e P.

Fig. 67.

Die perspectivische Gr?sse von Figuren oder irgend welchen Linien, welche auf unregelm?ssigem Terrain in verschiedener Tiefe sich wiederholen, kann nicht genau berechnet werden.

§ 68. Wie auf dieselbe oder ?hnliche Weise wagrechte Parallellinien von gleicher L?nge in verschiedener Tiefe zu zeichnen sind, ist in Fig. 68–70 gezeigt.

Es sei die Aufgabe gestellt, 2 Rechtecke von gleicher Gr?sse und in gleicher Stellung wie A B C D, Fig. 68, zu zeichnen, so, dass die linke vordere Ecke des einen in E, die des andern in e liegt. Zieht man von E eine unverkürzte Wagrechte nach r, so ist r s = A B und kann mit dem Zirkel von E nach F übertragen werden. Die Richtung der verkürzten Seiten ist durch P gegeben, ihre L?nge durch eine Linie von E nach z, dem Fluchtpunkt der Diagonale A C und folglich auch der mit A C parallelen E G. Ebenso kann e f = a b gemacht und die L?nge f g durch die Diagonale e g bestimmt werden.

Fig. 68.

W?ren die Fluchtpunkte beider Diagonalen des gegebenen Rechtecks A B C D unzug?nglich, so k?nnten A B, E F und e f halbiert werden, um y als Fluchtpunkt von o C wie oben z behufs Berechnung der L?nge F G und f g zu benüzen. e h k?nnte auch = F G gemacht werden mittels einer von F durch e nach dem Horizont und einer zweiten von G nach y gezogenen Linie. Sollte auf diesem Wege die L?nge E H = B C bestimmt werden, so müsste, da eine Linie von B durch E den Horizont ausserhalb der Zeichnung trifft, eine n?her bei E liegende Linie, z. B. m n = B C gezeichnet werden, um m E y und n H y ziehen zu k?nnen.

§ 69. In Fig. 69 ist von a aus ein Rechteck = E F G H gezeichnet, indem von E eine Linie durch a nach dem Horizont gezogen und hierauf die Lage von b, c und d durch die Linien F P, G P, H P und die nach den betreffenden Fluchtpunkten gezogenen a b, b c, a d bestimmt wurde. W?re statt a der Punkt A als vordere Ecke des zweiten Rechtecks gegeben, welcher in gleicher Tiefe mit E liegt, so k?nnte man von E, F, G und H unverkürzte Wagrechte nach links ziehen, in welchen auch die Punkte B, C und D liegen müssen und hierauf die Lage der lezteren ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte dadurch n?her bestimmen, dass man nach einem beliebigen Punkt des Horizonts, z. B. nach P, Linien von E, F, G, H und A zieht, und hierauf f g = i k, f C = i G, f e = i h macht u. s. w. Ebenso ist m n = x y, n o = y a u. s. w.

Fig. 69.

W?re A B C D und der Punkt a gegeben, somit der Fluchtpunkt einer von A durch a gezogenen Linie unzug?nglich, so k?nnte auf die zulezt angegebene Weise das erstere Rechteck leicht soweit als n?tig zur Seite gerückt werden, wie oben die Linie B C, Fig. 68 nach m n.

§ 70. Aus dem Vorangegangenen ergibt sich ein weiteres in vielen F?llen bequemes Mittel, die Richtung verkürzter Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzug?nglich ist, zu berechnen. Wenn in Fig. 70 E die vordere Ecke eines Rechtecks = A B C D sein soll und wie oben eine Wagrechte durch A sowie die Linien A E z, B z, C z und D z gezogen sind, so bilde man mit einer aus einem beliebigen Punkt des Horizonts z. B. aus y durch B gezogenen Linie ein Dreieck a c B und ziehe c z. b d ist nun = a c, eine Linie von d nach y macht b F = a B, somit sind die Dreiecke a c B und b d F oder A a B und E b F einander gleich und ist E F perspectivisch gleich gross und parallel mit A B. Die Lage der Ecke G ist durch C z und die Diagonale E y gegeben, k?nnte aber gleichfalls dadurch berechnet werden, dass auf die angegebene Weise F h g = B f e gemacht und eine unverkürzte Wagrechte von h nach G gezogen würde. Um K zu erhalten, ist schliesslich D m gezogen, durch m z G n = C m gemacht, und durch eine Wagrechte von n nach D z der Punkt K bestimmt.

Fig. 70.

Da sowohl Richtung als L?nge einer schr?gen Linie durch die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks gegeben ist, so gilt das Gesagte auch für verkürzte gleich grosse schr?ge Parallellinien in verschiedener Tiefe.

Teilung einer verkürzten Linie nach bestimmten Verh?ltnissen.

§ 71. Die einfachste und h?ufigste Art einer solchen Teilung ist die Halbierung mittels der Diagonalen eines Rechtecks, dessen eine Seite die zu halbierende Linie bildet. Die vorangehenden Figuren, z. B. 38–41, bieten hievon mehrfache Beispiele. Ebenso von der Verdopplung einer Linie: in Fig. 48 z. B. ist, nachdem E h gegeben, die zweite H?lfte h F = E h gemacht mittels eines Rechtecks E h e c und einer Linie aus c durch die Mitte von e h nach F.

Fig. 71.

Soll in Fig. 71 die L?nge e f auf der Fortsezung dieser Linie wiederholt werden, so bilde man mit e f ein beliebiges Rechteck e f b a, ziehe von a eine Linie durch die Mitte von b f nach g, von b durch die Mitte von c g nach h u. s. w. Auf dieselbe Weise ist in Fig. 72 die L?nge a b nach c u. s. w. übertragen. In Fig. 71 ergibt sich f n als H?lfte von e f, wenn m (vom Schnittpunkt der Diagonalen a f und e b aus) als H?lfte von a b bestimmt und von da eine Linie durch d gezogen wird.

Fig. 72.

In der Mitte des Rechtecks a b c d Fig. 73 kann ein Fenster gezeichnet werden, indem die senkrechte Mittellinie e f gezogen, m n o p als n?here H?lfte angenommen und n z durch die Mitte von m p gezogen wird, vgl. die beigefügte geometrische Figur.

Fig. 73.

Soll auf der Linie B P Fig. 68 von b aus ein Stück = B C abgeschnitten werden, so bilde man ein Rechteck C b a D, ziehe D b und C a und durch i eine Linie von A nach c.

§ 72. Die Teilung einer verkürzten Linie in eine gr?ssere Anzahl von Teilen, welche in einem bestimmten geometrischen Verh?ltnis zu einander stehen, geschieht gew?hnlich zufolge dem Geseze, dass in einem Dreieck Linien, welche parallel mit einer Seite zwischen den beiden andern gezogen werden, auf lezteren Teile von gleichem Verh?ltnis ergeben.

Fig. 74.

In Fig. 74 ist z. B. die Linie a b so geteilt, dass a d und e f gleich gross und je die H?lfte von d e und f b sind. Zieht man nun von f, e und d Linien parallel mit b c nach a c, so erh?lt man auf lezterer Linie Teile von demselben Verh?ltnis. Ist die Aufgabe gestellt, die Linie D C Fig. 75 so zu teilen, dass die Fenster je halb so gross als die Zwischenr?ume sein sollen, so wird durch D eine unverkürzte Wagrechte gezogen, mit dem Zirkel, nachdem D a als erster Teil beliebig angenommen ist, a b = 2 mal D a, b c = D a u. s. w. gemacht und eine Linie von f, dem Endpunkt des letzten Teilabschnitts, durch C nach dem Horizont gezogen, worauf die Linien a p, b p, c p u. s. w. auf D C die gewünschten Verh?ltnisse ergeben.

Fig. 75.

Statt auf D f k?nnten die Teile auch auf einer h?her gelegenen Linie, z. B. von m aus in der Weise angetragen werden, dass eine Linie von m durch D nach dem Horizont, eine zweite von p durch C nach n gezogen und m n mit dem Zirkel nach den gewünschten Verh?ltnissen geteilt würde.

Auch in Fig. 72 k?nnte auf diese Weise die perspectivische Weite der Zwischenr?ume berechnet werden, wie auf der Linie a d angedeutet ist.

Dasselbe Verfahren ist in Fig. 42 angewandt, um die verkürzte schr?ge Linie b d in eine Anzahl gleicher Teile zu teilen und so die perspectivische H?he der Stufen zu bemessen, mit dem Unterschied, dass die senkrechte Linie b e hier die Stelle der unverkürzten Wagrechten in Fig. 75 vertritt.

§ 73. Ein anderes Verfahren ist das folgende: Wenn in Fig. 73 das Rechteck a b c d gegeben ist und die Breite eines in der Mitte davon zu zeichnenden Fensters ? der Linie a d betragen soll, so wird a b in 5 gleiche Teile geteilt und die Diagonale a c oder b d gezogen. Zieht man nun von g und h Linien parallel mit a d und b c, so erh?lt man da, wo dieselben die Diagonalen schneiden, die Punkte, welche die Breite des Fensters bestimmen, vergl. die geometrische Figur. Auch die perspectivische Breite der Fenster und der Zwischenr?ume in Fig. 75 k?nnte dadurch bestimmt werden, dass A D mit dem Zirkel in 9 gleiche Teile geteilt würde (vorausgesezt, dass das oben angegebene Verh?ltnis massgebend sein soll). Die Punkte, in welchen die von 1, 3, 4, 6 und 7 aus gezogenen Parallelen die Diagonale D B schneiden, ergeben, wie die Figur zeigt, dasselbe Verh?ltnis wie die obige Berechnung.

Perspectivisches Gr?ssenverh?ltnis nicht paralleler Linien.

§ 74. Wenn wir uns von unserem Auge eine Linie nach dem Augpunkt und 2 andere nach den beiden Diagonalpunkten (§ 18) gezogen denken, so entstehen 2 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Denn eine Linie vom Auge nach dem Augpunkt steht zum Horizont in einem rechten Winkel und die Entfernung der Diagonalpunkte vom Augpunkt ist gleich der Entfernung des Auges vom Augpunkt. Wenn in Fig. 76 D unser Auge, P der Augpunkt ist, so sind Dp und Dg Diagonalpunkte.

Fig. 76.

Die beiden Linien vom Auge nach den Diagonalpunkten – D Dp und D Dg – stehen zum Horizont in einem halben rechten Winkel, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, vergl. a b c d. Steht eine Linie unseres Gegenstands in einem halben rechten Winkel zu einer unverkürzten Wagrechten, so steht sie auch zum Horizont in einem halben rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer Linie von unserem Auge nach einem der beiden Diagonalpunkte und dieser muss ihr Fluchtpunkt sein. Die Diagonalpunkte sind also die Fluchtpunkte aller wagrechten Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten in einem halben rechten Winkel stehen.

Umgekehrt, jede Linie des Bildes, deren Fluchtpunkt ein Diagonalpunkt ist, stellt eine Linie dar, welche zum Horizont und zu den unverkürzten Wagrechten derselben Zeichnung in einem halben rechten Winkel steht.

Ist also in Fig. 77 die Distanz = 2 mal A P = P Dg, so ist Dg ein Diagonalpunkt und stellt A C eine Linie dar, welche in einem halben rechten Winkel zu A B steht; die Linie B C, welche ihren Fluchtpunkt im Augpunkt hat, ist demnach eine rechtwinklig zu A B stehende Linie und A B C ist die perspectivische Form eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks = a b c Fig. 76. B C Fig. 77 ist = A B, wie in Fig. 76 b c = a b ist.

Fig. 77.

§ 75. Demgem?ss kann die L?nge einer unverkürzten Wagrechten auf eine rechtwinklig zu ihr stehende, d. h. nach dem Augpunkt gehende Wagrechte übertragen werden, indem entweder von einem Endpunkt der gegebenen unverkürzten Wagrechten eine Linie nach einem der beiden Diagonalpunkte gezogen wird, welche die nach dem Augpunkt gehende Linie schneidet: B C Fig. 77 wird = A B gemacht durch eine Linie von A nach Dg, welche die Linie B P in C schneidet; oder indem man eine Linie von einem Diagonalpunkte durch einen Endpunkt der gegebenen unverkürzten nach der verkürzten Wagrechten zieht: so wird E A = C E mittels einer Linie von Dg durch C nach A. A B C E ist somit die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats.

Ebenso kann die L?nge einer nach dem Augpunkt gehenden Linie auf eine anstossende unverkürzte Wagrechte übertragen werden: durch Dg C A wird A B = B C, durch A C Dg wird C E = A E gemacht.

§ 76. Ist in Fig. 77 die Distanz = 2 mal P A, so ist D/2 die H?lfte, D/3 ein Drittel, D/4 ein Viertel der Distanz. Ebenso ist B a die H?lfte, B b oder B e ein Drittel und B c ein Viertel von A B. Ziehen wir, statt von A nach Dg, eine Linie von a nach D/2 oder von b nach D/3 oder von c nach D/4, so wird von der aus B nach P gehenden Linie dieselbe L?nge B C abgeschnitten; gehen wir von der verkürzten Linie B C aus, so erhalten wir durch eine aus D/2, D/3 oder D/4 durch C gezogene Linie auf der durch B gehenden Wagrechten die H?lfte, ein Drittel oder ein Viertel von B C.

Da ein Diagonalpunkt stets ausserhalb der Zeichnung liegt, so bedarf man eines Ersazmittels, welches durch jene Teilpunkte gegeben ist: soll B C = A B gemacht werden, so zieht man eine Linie von a nach D/2, von b nach D/3 oder von c nach D/4, soll A B = B C gemacht werden, so erh?lt man durch eine Linie von D/2 nach a, D/3 nach b u. s. w. zun?chst die H?lfte, ein Drittel oder Viertel von A B und kann hienach mit dem Zirkel die ganze L?nge A B leicht erg?nzt werden. Statt der Linie b D/3 k?nnte auch eine Linie von e nach dem rechts vom Augpunkt liegenden Drittel der Distanz gezogen werden, sowie man statt der rechtsseitigen Punkte D/2 und D/4 die entsprechenden Teilpunkte links vom Augpunkt benüzen und mittels derselben rechts von B die H?lfte oder ein Viertel von A B abschneiden k?nnte.

§ 77. Hienach ist es leicht, auch einer nach einem Distanzpunkt gehenden Linie jedes beliebige Gr?ssenverh?ltnis zu einer anstossenden unverkürzten Wagrechten zu geben oder umgekehrt. Wird z. B. in Fig. 77 die Senkrechte B F = A B gemacht, so ist das Dreieck A B F = A B C (da auch B C = A B ist); A C ist = A F = A g; A f ist = A d = A n, A h = A i. Es kann also ein beliebiger Teil der Linie A z mit dem Zirkel auf A F oder ihre Verl?ngerung und von hier mittels einer Senkrechten und einer nach dem Augpunkt gehenden Linie auf die Linie A Dg übertragen werden.

Soll die L?nge der nach einem Distanzpunkt gehenden Linie A C auf die durch A gezogene Wagrechte übertragen werden, so zieht man eine Linie von P durch C nach B, eine Senkrechte B F = A B und macht mit dem Zirkel A g = A F = A C.

Das unverkürzte Dreieck kann natürlich ebensowohl oberhalb als unterhalb der Linie A B gebildet werden. Um z. B. A o auf A B zu übertragen, kann P o g gezogen, die Senkrechte g p = A g errichtet und A z = A p gemacht werden.

Fig. 78.

Oder sei in Fig. 78 A B die zuerst gegebene Linie, D/2 die H?lfte, D/3 ein Drittel der Distanz. B e ist die H?lfte, B d ein Drittel von A B; somit wird B C = A B mittels einer Linie von D/2 durch e, oder von D/3 durch d. B f ist = A B, also ist A B f = A B C; A f ist = A C; A h ist = A B, also erh?lt man auf A C den Teil A i = A B, indem man eine Senkrechte von h nach A B, und durch den Punkt, in welchem sie A B trifft, eine Linie von P aus zieht.

§ 78. Mit Hilfe desselben Verfahrens kann nun das perspectivische Gr?ssenverh?ltnis jeder verkürzten wagrechten Linie zu einer andern bemessen werden. Nehmen wir an, dass in Fig. 79 D/2 als H?lfte der Distanz, die perspectivische Richtung der (nicht nach einem Diagonalpunkt gehenden) Linien A B und A C, sowie die perspectivische L?nge A B gegeben und die Aufgabe gestellt sei, leztere auf A C zu übertragen, so wird durch A eine unverkürzte Wagrechte und nach dieser aus dem Augpunkt eine Linie durch B gezogen. B b steht somit rechtwinklig zu A b; da D/2 die H?lfte der Distanz ist, so ist b f = die H?lfte von B b; b c ist = 2 mal b f, also = B b, folglich ist A c = A B. Hierauf ist durch einen beliebigen Punkt o der zweiten Linie gleichfalls eine Linie aus P und aus D/2 gezogen und hiedurch gefunden, dass o n = m n (= 2 mal n p) ist; A d wird nun = A c gemacht und schliesslich eine Senkrechte von d nach a und eine Linie von hier nach P gezogen, wodurch sich die L?nge A C = A B ergibt.

Fig. 79.

W?re A F statt A B als Mass gegeben, so dass eine von D/2 durch F gezogene Linie die durch A gehende Wagrechte nicht mehr innerhalb der Zeichenfl?che treffen würde, so k?nnen 2 Senkrechte A g und F h bis zum Horizont und die Diagonalen F g und A h gezogen und kann von ihrem Schnittpunkt aus durch eine Senkrechte der perspectivische Halbierungspunkt von A F gefunden werden, um auf dem angegebenen Wege zun?chst die H?lfte von A F auf die Linie A a zu bringen. Ist angenommen, dass die beiden verkürzten Linien einen rechten Winkel darstellen, so wird auf kürzerem Wege A C = A B gemacht, indem mit dem Winkel (Fig. 9) A d = A c rechtwinklig zu A c gezeichnet und hierauf d a und a P gezogen wird.

Fig. 80.

In Fig. 80 sind die Wagrechten A B und A C, deren Richtung von A aus gegeben ist, = der in gleicher Fl?che liegenden E F gemacht. Zu diesem Zweck ist zun?chst A G = E F gemacht mittels einer Linie von F durch A nach z und einer zweiten von z nach E und ist hierauf von P eine Linie nach einem beliebigen Punkte b der Linie A B gezogen. D/2 sei die H?lfte der Distanz; also ist a c = 2 mal a n, a b = 2 mal a m, das wagrechte Dreieck A a c ist somit = dem senkrechten A a e, A a b ist = A a g (a e = 2 mal a n, a g = 2 mal a m). Nachdem nun A f und A h = A G gemacht sind, werden die Senkrechten f m und h i gezogen und ergeben die von P nach m und durch i nach B gezogenen Linien die L?nge A C und A B = A G = E F.

Fig. 81.

Fig. 81 zeigt die Anwendung des Vorangegangenen auf eine ge?ffnete Thüre. Es ist angenommen, dass die L?nge A B und die Richtung A D gegeben, die Richtung D E beliebig und die Breite der Thüre = A C sein soll. In beliebiger Richtung ist aus P nach der durch A gehenden Wagrechten die Linie a b gezogen, welche, wenn D/3 ein Drittel der Distanz darstellt, = 3 mal b c, also = b d ist; A e ist = A C, somit ist auch A D = A C. Nun ist eine Wagrechte durch D gezogen und in gleicher Weise zuerst an beliebiger Stelle ein Dreieck D m i = D g i construiert (i m = 3 mal i h), um sodann D n = D F, D E = D n zu machen; D F ist = A C, somit ist E D ebenfalls = A C.

§ 79. Kann die L?nge einer verkürzten auf eine unverkürzte Wagrechte übertragen werden und umgekehrt, so ist damit auch das Mittel gegeben, eine bestimmte Gr?sse von einer Senkrechten oder einer unverkürzten schr?gen Linie auf eine verkürzte Wagrechte zu übertragen und umgekehrt, vgl. Fig. 81, wo die Linien A D und E D = der Senkrechten A C gemacht wurden, oder Fig. 78, wo A C = der unverkürzten schr?gen Linie A f und = der Senkrechten A g ist.

Fig. 82.

Die Berechnung der perspectivischen L?nge einer verkürzten schr?gen Linie ist in Fig. 82 und 83 gezeigt. In beiden Beispielen ist die Richtung der Linien c e und b c, sowie die L?nge b c als gegeben angenommen und soll c e = b c gemacht werden. Es ist zun?chst die L?nge b c auf die durch b gehende Wagrechte zu übertragen. In Fig. 82 geht b c nach dem Augpunkt, folglich ist b g die H?lfte von b c. Die von c ausgehende schr?ge Linie ist bis zu einer in b errichteten Senkrechten verl?ngert, b i ist = 2 mal b g, d. h. = b c, somit ist das Dreieck b i h = b h c; i m ist = b i = b c; zieht man eine unverkürzte Wagrechte von m nach n und von n eine mit b c parallele Linie nach P, so ist c e = i m = b c. Eine Senkrechte von e nach o, eine Wagrechte von o nach k und eine Senkrechte von k nach f ergeben f d als die mit c e parallele Seite.

Fig. 83.

In Fig. 83 ist zuerst eine Linie von P durch c nach o gezogen; c o ist = 2 mal o g = x z, x y ist = o b; folglich ist das Dreieck b o c = x y z und b c ist = y z = b i, das Dreieck b i h ist = b h c u. s. w.

Ist statt c e die Richtung der Linie c k gegeben und soll auf leztere die L?nge c b übertragen werden, so kann c p = c b gemacht (vgl. Fig. 68) und links von p s ein unverkürztes Dreieck = c p s gebildet werden; oder kann, wenn der Raum dies nicht gestattet, s h parallel mit b p gezogen, der Punkt n wie oben bestimmt und von hier aus mittels n k die schr?ge Linie c k = b c gemacht werden.

Eine andere L?sung der Aufgabe w?re die Construction eines Halbkreises über b p, indem alle von diesem nach c gezogenen Linien = b c sein würden.

Das Quadrat in gerader Stellung.

§ 80. Die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats in gerader Stellung ist gegeben durch den Augpunkt, welcher die Richtung der beiden verkürzten Seiten bestimmt (§ 32) und durch die Diagonalpunkte, welche Fluchtpunkte der beiden Diagonalen sind und hiemit das perspectivische Gr?ssenverh?ltnis der Seiten zu einander angeben (§ 74); die Ausführung ist aus § 74–75 und aus Fig. 77–78 ersichtlich.

Auch in diesem Fall kommt es haupts?chlich darauf an, dass die Entfernung des betreffenden Diagonalpunkts vom Auge, welche gleichbedeutend ist mit der Distanz, nicht zu klein angenommen werde (§ 34). Die Folge w?re, dass die verkürzten Seiten zu lang erscheinen würden im Verh?ltnis zu den unverkürzten. E F B D Fig. 84 kann ebensowohl ein Quadrat darstellen, als E F G H; der Unterschied ist nur, dass die leztere Form einen n?heren Standpunkt voraussezt als die erstere. Sobald wir aber die Linie G H n?her nach dem Horizont hin rücken, z. B. nach m n, so erscheinen die beiden verkürzten Seiten l?nger als die unverkürzten. Denn P D/2 ist = P F und 2 mal P F ist in diesem Fall die kleinste Distanz, welche angenommen werden kann.

Fig. 84.

Es ist daher im allgemeinen darauf zu achten, dass bei der besprochenen Stellung des Quadrats der Punkt, in welchem eine Linie von der Mitte der unverkürzten Vorderseite durch eine gegenüberliegende Ecke nach dem Horizont (A G oder A H, Fig. 84) diesen trifft, wenigstens ebenso weit vom Augpunkt entfernt sein muss, als dieser von der entferntesten Ecke des Bildes.

Das Quadrat in schr?ger Stellung.

§ 81. Ist die Stellung des Quadrats eine solche, dass die eine Diagonale eine unverkürzte Wagrechte ist, so steht die andere rechtwinklig zum Horizont, hat also ihren Fluchtpunkt im Augpunkt und die Seiten haben dieselbe Stellung, welche im vorhergehenden Fall die Diagonalen hatten, ihre Fluchtpunkte sind die beiden Diagonalpunkte, s. Fig. 77. Ist A D in Fig. 84 als erste Seite eines solchen Quadrats gezeichnet, also angenommen, dass der Fluchtpunkt von A D ein Diagonalpunkt sei, so ergibt sich B dadurch, dass eine unverkürzte Wagrechte von D nach rechts, eine Linie von A nach P gezogen und hierauf k B = D k gemacht wird, der Punkt C durch P D E, A E und eine Linie aus E durch die Mitte von D k nach A P. Oder man bildet das einschliessende Quadrat in gerader Stellung und bestimmt in diesem die Halbierungspunkte der Seiten.

§ 82. Wie die geometrisch gezeichneten Quadrate a b c d und e f g h, Fig. 84 zeigen, entstehen, wenn durch Verbindung der Halbierungspunkte a b c d ein kleineres Quadrat innerhalb des gr?sseren gebildet wird, zwischen beiden 4 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke von gleicher Gr?sse: a f b, b g c u. s. w. Wird eine Quadratseite in zwei ungleiche Teile geteilt und dieselbe Teilung auf den 3 andern Seiten wiederholt, wie in Fig. 85 (a f = b g = c h = d e und folglich a e = d h u. s. w.), so bilden die Verbindungslinien der 4 Teilungspunkte, hier a, b, c und d, gleichfalls ein Quadrat und entstehen wieder 4 rechtwinklige Dreiecke von gleicher Form und Gr?sse (a f b, b g c u. s. w.) mit dem Unterschiede, dass dieselben nicht gleichschenklig sind. Zieht man aus a und c 2 Linien parallel mit f g, aus d und b zwei weitere parallel mit e f je nach der gegenüberliegenden Seite des ?usseren Quadrats, so ist e m = a f, m f ist = a e und dieselben Verh?ltnisse ergeben sich auf allen 4 Seiten.

Fig. 85.

Ist nun ein verkürztes Quadrat in gerader Stellung z. B. E F G H Fig. 85, gegeben und in demselben ein Punkt A als vordere Ecke eines inneren Quadrats, dessen Ecken die Seiten des ?usseren berühren sollen, so wird man F M = A E machen, M P und A P sowie eine Diagonale des ?usseren Quadrats und durch die Schnittpunkte y und z oder i und k zwei Wagrechte ziehen, wodurch sich die Lage der Punkte B, D und C ergibt.

§ 83. Ist A B als Seite eines Quadrats und zweimal P F als Distanz angenommen, so zieht man eine Wagrechte durch A und eine Linie aus P durch B nach F. Eine Linie aus D/3 durch B ergibt F p als ein Drittel von B F, F M ist = 3 mal F p, also ist F M = B F. Wird nun A E = F M gemacht, so kann E P gezogen und das ?ussere Quadrat E F G H entweder durch Verl?ngerung der Diagonale des Quadrats M F B z oder durch eine Linie aus D/3, nach s, d. h. dem Drittel von F E gebildet werden, worauf man wie oben verf?hrt.

Oder kann man, nachdem P F gezogen, F M = B F und A E = F M gemacht ist, E P und eine Linie von D/3 nach m, d. h. einem Drittel von A F ziehen, wodurch das Quadrat A F n y entsteht. Die verl?ngerte n y ergibt den Punkt D, die verl?ngerte Diagonale F y den Punkt H, von wo aus eine Wagrechte die Linie M P in C schneidet.

Die Quadrate A F n y oder E M k D, durch welche der Punkt D gegeben ist, lassen sich auch ohne die zweite von D/3 nach s gezogene Linie durch Verl?ngerung der Diagonale F z und die von A und M nach P gezogenen Linien bilden.

§ 84. Die Anwendung des hier beschriebenen Verfahrens kann überhaupt eine mannigfaltige sein. W?re statt A B die Linie A D als erste Seite gegeben, so würde man mittels einer von D/3 durch D gezogenen Linie auf der nach links verl?ngerten A E ein Drittel von A D erhalten oder zieht man eine Linie aus D/3 durch y, wo sich A P und die von D nach rechts gehende Wagrechte schneiden, nach o, um A o oder E o als ein Drittel von E D zu bestimmen und somit E M = E D zu erhalten. Hierauf wird A F = E M gemacht und mit der verl?ngerten Diagonale des Quadrats E M k D, welche von F P in G geschnitten wird, das gr?ssere Quadrat gebildet.

Fig. 86.

Fig. 86 zeigt dasselbe Verfahren mit etwas ver?nderter Stellung des inneren Quadrats. Die Distanz ist = 4 mal P A angenommen, also ist B r ein Viertel von B F; B m ist = 4 mal B r, also = B F, folglich ist das verkürzte Dreieck E B F = dem unverkürzten E B f. A H ist = 4 mal A a = A m und = A h, folglich ist A H E = A h E und man sieht deutlich, wie auch die übrigen Linien der zwei wagrechten Quadrate nach Gr?sse und Winkelstellung durch die Linien der senkrecht sich anschliessenden Quadrate A B c d und E f g h geometrisch wiedergegeben sind.

§ 85. Hiemit ist zugleich die genaue Berechnung der perspectivischen Form eines rechten Winkels in schr?ger Stellung gegeben, auf welche in § 33 verwiesen wurde.

Die Ausführung kann, wenn nur die 2 Linien des rechten Winkels verlangt sind, in wesentlich vereinfachter Weise stattfinden. Wenn z. B. in Fig. 86 von E aus eine zu E F rechtwinklige Linie gezeichnet werden soll, so genügt hiezu eine Linie von D/4 durch F, wonach E A = 4 mal B r, d. h. = B F zu machen ist, eine zweite Linie von A nach P und eine dritte von D/4, nach a, indem A a ein Viertel von E B und somit A H = E B ist. Ist E H gegeben und soll eine rechtwinklig dazu stehende Linie gezeichnet werden, so bilde man das Rechteck H A E y, mache E B = A H (= 4 mal A a), ziehe B P und eine Linie von D/4 nach r. Da B r ein Viertel von A E ist, so ist hiemit F B = A E. Welcher Weg im einzelnen Fall der bequemste, ob der Teildistanzpunkt links oder rechts vom Augpunkt für die Ausführung geeignet ist, wird man bei einiger übung leicht erkennen.

Bei der Construction senkrecht stehender verkürzter Quadrate handelt es sich nur um die übertragung eines gegebenen Masses von einer senkrechten auf eine verkürzte wagrechte Linie oder umgekehrt, worüber in § 74–78 das N?tige angegeben ist; ebenso ist aus § 78 zu ersehen, wie ein verkürztes schr?ges Quadrat zu zeichnen w?re; doch kommt die leztere Aufgabe seltener vor.

Vergr?sserung oder Verkleinerung eines Quadrats oder Rechtecks.

§ 86. Wenn man in Fig. 87, nachdem g h i k gegeben ist, von b aus die mit g h und h i parallelen b f und b e zieht, oder wenn man 4 Punkte der Diagonalen g i und h k durch Linien verbindet, welche mit den Seiten parallel sind, so entsteht bei A wiederum ein Quadrat f b e k oder a b c d, bei B ein Rechteck f b e k oder a b c d, dessen Seitenpaare dasselbe Verh?ltnis von 2 : 3 haben, wie g h und h i. Wie auf die gleiche Weise aus einem kleineren ein gr?sseres Quadrat oder Rechteck durch Verl?ngerung der Diagonale gemacht werden kann, ist hienach leicht zu verstehen.

Fig. 87.

Aber w?hrend in A die Linien des inneren Quadrats a b c d überall gleich weit von g h i k entfernt sind, ist dies bei den Rechtecken a b c d und g h i k in B nicht der Fall: der Zwischenraum zwischen den kürzeren Seiten ist gr?sser, als zwischen den l?ngeren. Soll auf einem Wege, der auch bei verkürzter Stellung des Rechtecks anwendbar w?re, innerhalb g h i k ein (paralleles) Rechteck gezeichnet werden, so dass die Seiten beider überall gleiche Entfernung von einander haben, so muss auf einer l?ngeren Seite z. B. auf g h ein Teil = der L?nge der kürzeren Seite abgeschnitten, also z. B. g n = g k gemacht und so ein Quadrat g n m k gebildet werden, um dessen Diagonalen zu dem genannten Zwecke zu benüzen. Soll f g die Breite des Zwischenraums sein, so wird von f eine mit g h parallele Linie gezogen, welche die Diagonale g m in o schneidet und hiemit den Punkt p ergibt. Zieht man nun von m durch den Schnittpunkt der Diagonalen g i und h k eine Linie nach s, so ist g s = n h, s h = g n = h i; s i ist somit die Diagonale eines Quadrats = g n m k, und k?nnen die Punkte y und z durch die mit k i und i h parallelen Linien bestimmt werden.

§ 87. Die Construction der verkürzten Quadrate und Rechtecke in Fig. 88 und 89 ist hiemit gegeben. In Fig. 89 dient dieselbe dazu, die 4 Tischbeine an die richtige Stelle zu sezen. Fig. 90 stellt in gr?sserem Massstab die Verjüngung der Tischbeine nach unten dar.

Fig. 88.

Fig. 89.

Fig. 90.

Fig. 91 zeigt einen Stuhl ohne Lehne. Der Siz bildet ein Quadrat, die Punkte a b c d, von welchen die Stuhlbeine ausgehen, ergeben sich daher durch die Diagonalen wie in Fig. 87 A und Fig. 88. Da sie nach ausw?rts stehen, so ist senkrecht unter a b c d das Quadrat e f g h gebildet und mittels seiner Diagonalen vergr?ssert.

Fig. 91.

Stühle mit Lehnen sind gew?hnlich so geformt, dass der Siz hinten schm?ler ist als vorn. Man kann deshalb, wenn beispielsweise a b Fig. 92 die Vorderseite des Sizes sein soll, zun?chst ein Quadrat a b c d bilden, um sodann die Lage der geometrisch gleichweit von c und d entfernten Punkte e und f entweder auf früher beschriebene Weise oder nach dem Augenmass (e c kleiner als d f) zu bestimmen. Für die Punkte, von welchen die Füsse ausgehen, sind nun die Diagonalen a e und b f massgebend.

Fig. 92.

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