Chapter 3 Perspectivische Richtung verkürzter Linien.

Verkürzte Parallellinien.

§ 25. Wenn 2 parallele Linien durch eine Anzahl von Linien verbunden werden, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind nach § 1, Fig. 1 diese Verbindungslinien gleich lang. Haben wir nun parallele Linien in verkürzter Stellung vor uns, wie die Eisenbahnschienen in Fig. 20, so befinden sich die Verbindungslinien, hier die Schwellen, in verschiedener Entfernung vom Auge, sie scheinen daher nach der Ferne hin immer kleiner zu werden, d. h. der Abstand zwischen den beiden verkürzten Parallellinien scheint sich zu verkleinern, sie scheinen n?her zusammenzurücken je weiter sie sich von unserem Auge entfernen und wenn sie sich auf sehr weite Entfernung fortsezen, so müssen sie schliesslich in Einem Punkte, wie hier in dem Punkte P, zusammentreffen, in welchem sie aufh?ren sichtbar zu sein.

Fig. 20.

Man nennt diesen Punkt den Fluchtpunkt oder Verschwindungspunkt der betreffenden Linien.

§ 26. In demselben Punkte, in welchem 2 verkürzte Parallellinien zusammentreffen, müssen auch alle weiteren mit ihnen parallelen Linien, wie in Fig. 20 die Linien a P, b P, c P, sich treffen, da der Zwischenraum zwischen allen in demselben Verh?ltnis nach der Ferne hin kleiner wird. Wenn a b, b c und c d gleich lang, a e und d f je halb so lang sind als a b, so müssen g h, h i und i k, m g und k n in demselben Verh?ltnis zu einander stehen, sie werden also zugleich aufh?ren, sichtbar zu sein.

Wenn wir solche Linien auch nicht mit dem Auge verfolgen k?nnen bis zu dem Punkte, in welchem sie zusammentreffen würden, sondern sie nur in kürzerer Ausdehnung vor uns haben, wie die geometrisch parallelen Linien a a und b b in Fig. 21, so müssen sie stets so gezeichnet sein, dass der Zwischenraum zwischen ihnen nach der Ferne hin kleiner wird, so dass sie, von ihrem ferner liegenden Ende aus fortgesezt, irgendwo in Einem Punkte zusammentreffen würden, d. h. verkürzte Parallellinien müssen die Richtung nach einem gemeinschaftlichen Fluchtpunkt haben.

Fig. 21.

Man vergleiche ausser Fig. 20 und 21 die wagrechten Parallellinien a a, c c, f f in Fig. 13 und 14, s?mtliche wagrechte Linien in Fig. 22, die schr?gen Parallellinien n n in Fig. 21, a c und e d, a g und e h in Fig. 36, a, b, c und d Fig. 37 und andere.

Fig. 22.

§ 27. Sobald wir also 2 verkürzte Parallellinien dieser Regel entsprechend gezeichnet haben, so ist damit auch die perspectivische Richtung aller weiteren mit ihnen parallelen Linien gegeben: man verl?ngert die zuerst gezeichneten bis zu dem Punkte, in welchem sie zusammentreffen und zieht nach diesem die übrigen.

Wie zu verfahren ist, wenn ein Fluchtpunkt ausserhalb der Zeichnung liegt, wie die Fluchtpunkte der Linien a a, b b, n n in Fig. 21, wird sp?ter gezeigt werden. H?ufig kann jedoch die genaue Berechnung in solchen F?llen dadurch ersezt werden, dass man einen Papierstreifen an das Zeichenblatt anlegt, um die betreffenden Linien bis zu ihrem Fluchtpunkt verl?ngern zu k?nnen, oder dass man wie in Fig. 21 und 22 sie wenigstens so weit als der Raum gestattet, fortsezt, da sich, je l?nger sie sind, desto deutlicher beurteilen l?sst, ob sie die erforderliche Richtung nach Einem Punkte hin haben.

Verkürzte wagrechte Linien.

§ 28. Wenn wir am Ende eines Zimmers stehend Decke und Fussboden desselben betrachten, so scheint die erstere nach dem jenseitigen Ende des Zimmers hin zu fallen, der Boden scheint nach dorthin anzusteigen; ebenso scheinen alle wagrechten Fl?chen, welche h?her liegen als unser Auge, nach der Ferne hin zu fallen, tiefer liegende scheinen zu steigen. Halten wir aber eine Fl?che, z. B. ein dünnes Brett, ein Stück Pappe oder dergl. wagrecht in gleicher H?he mit unserem Auge vor uns, so sehen wir weder die untere noch die obere Seite dieser Fl?che, wir sehen sie nur als eine wagrechte Linie, welche, da der Horizont gleichfalls eine in der H?he des Auges liegende wagrechte Linie ist, mit diesem zusammenf?llt, vgl. Fig. 22. Alle wagrechten Fl?chen scheinen sich also nach dem Horizont hin zu neigen.

Denn alle wagrechten Fl?chen sind parallel und sind verkürzt. Daher scheint der Zwischenraum zwischen 2 wagrechten Fl?chen, z. B. zwischen Decke und Fussboden, nach der Ferne hin immer kleiner zu werden, sie scheinen einander n?her zu rücken, ebenso wie verkürzte parallele Linien. Wie diese nach Einem Punkte, so scheinen alle wagrechten Fl?chen nach Einer Linie hinzustreben und diese Linie kann nach dem Gesagten nur der Horizont sein: der Horizont ist die gemeinschaftliche Fluchtlinie oder Verschwindungslinie aller wagrechten Fl?chen.

§ 29. Mit den wagrechten Fl?chen scheinen auch die in ihnen liegenden verkürzten Linien5 zu steigen oder zu fallen; jede wagrechte Linie kann als Teil einer wagrechten Fl?che gedacht werden; folglich müssen verkürzte wagrechte Linien, wenn sie tiefer liegen als unser Auge, d. h. unterhalb des Horizonts, von ihrem n?heren nach ihrem entfernteren Endpunkte zu steigen; wenn sie h?her liegen als unser Auge, d. h. über dem Horizont, so müssen sie nach der Ferne hin fallen; wagrechte Linien aber, welche mit dem Auge in gleicher H?he liegen, bleiben wagrecht, auch wenn sie verkürzt sind. Mit andern Worten: die Fluchtpunkte aller verkürzten wagrechten Linien liegen im Horizont; jede muss so gezeichnet sein, dass sie, von ihrem entfernteren Ende aus verl?ngert, in irgend einem Punkte den Horizont trifft und dieser Punkt ist zugleich der Fluchtpunkt aller mit ihr parallelen Linien; vgl. Fig. 20, 21, 22.

Haben wir also wagrechte Parallellinien in verkürzter Stellung zu zeichnen, so ist, sobald die perspectivische Richtung für eine derselben bestimmt ist, auch die Richtung der übrigen gegeben: man verl?ngert die erstere bis zum Horizont und nach dem Punkte, in welchem sie ihn trifft, werden die andern gezogen.

§ 30. Die Lage dieser Fluchtpunkte kann nun, wie schon die bisherigen Beispiele zeigen, eine sehr verschiedene sein. Es entsteht also die Frage, an welcher Stelle des Horizonts in diesem oder jenem Falle der Fluchtpunkt einer wagrechten Linie liegen muss, d. h. in welchem Grade die verschiedenen wagrechten Linien nach dem Horizont hin fallen oder steigen müssen.

Die allgemeine Regel in dieser Beziehung ist, dass der Fluchtpunkt einer verkürzten wagrechten Linie da liegt, wo eine parallel mit ihr vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde. Denn verkürzte Parallellinien haben denselben Fluchtpunkt.

Fig. 23.

Z. B.: a, b, c, d, e Fig. 23 sind verkürzte wagrechte Linien, welche zu der unverkürzten Wagrechten A B verschiedene Winkel bilden. Der Horizont ist parallel mit den unverkürzten wagrechten Linien unseres Gegenstandes (§ 22), der Winkel also, in welchem eine verkürzte wagrechte Linie in Wirklichkeit zu einer unverkürzten Wagrechten steht, ist derselbe, in welchem sie auch zum Horizont steht. Die geometrische Stellung der Linien a, b, c, d, e zu A B Fig. 23 ist in Fig. 24 angegeben. Dies ist auch ihre Winkelstellung zum Horizont. Denken wir uns nun, dass die 5 St?be in Wirklichkeit so wie sie hier gezeichnet sind vor uns liegen und dass parallel mit denselben 5 Linien von unserem Auge nach dem Horizont gezogen seien, so müssten die Punkte, in welchen die von unserem Auge ausgehenden Linien den Horizont treffen, die Fluchtpunkte der 5 St?be sein. Wenn man sich hievon eine deutliche Vorstellung macht, etwa indem man einen langen Stab parallel mit einer verkürzten Linie des zu zeichnenden Gegenstands vor's Auge h?lt, so wird man die Lage ihres Fluchtpunkts ann?hernd bestimmen k?nnen; man wird z. B. verstehen, dass der Fluchtpunkt von e sehr weit nach rechts, der Fluchtpunkt von d n?her nach dem Augpunkt hin liegen muss u. s. w.

Fig. 24.

§ 31. Die Stellung einer Linie zum Horizont ist jedoch immer eine willkürliche, da die Richtung des lezteren von der zuf?lligen Wahl unseres Standpunkts abh?ngt. Wenn wir die Lage des Fluchtpunkts einer wagrechten Linie genauer berechnen, so geschieht dies nicht, damit ihre Stellung zum Horizont, sondern damit ihre Stellung zu andern Linien des Bildes eine richtige Wirkung mache. Nur wo es sich um eine bestimmte und notwendige Winkelstellung wagrechter Linien zu einander handelt, bedürfen wir einer genaueren Regel in Betreff der Lage ihrer Fluchtpunkte und k?nnen wir eine solche anwenden.

Nehmen wir z. B. in Fig. 23 als Fluchtpunkt der Linie d den Punkt y statt x an, so scheint der Winkel, in welchem d zu e steht, gr?sser, ihr Winkel zu c kleiner zu sein, als wenn x Fluchtpunkt ist. Aber die Winkelstellung dieser Linien zu einander und zu den übrigen Linien des Gegenstands ist ebenso willkürlich und zuf?llig, wie ihre Stellung zum Horizont. Mit blossem Auge würde der Beschauer auch nicht mit Bestimmtheit zu erkennen verm?gen, dass ihre geometrische Stellung zu A B und zum Horizont oder ihre Stellung zu einander genau die in Fig. 24 angegebene ist. Also k?nnen wir auch die perspectivische Stellung dieser Linien zum Horizont und zu einander nicht genau berechnen und ist es für die perspectivische Richtigkeit der Zeichnung ohne Belang, ob beispielsweise y oder x als Fluchtpunkt der Linie d angenommen wird.

Ebenso ist in Fig. 14 die Winkelstellung der verkürzten wagrechten Linien g und h, sowie der Linien a, b, c, d zu den übrigen Linien des Bildes eine willkürliche. Notwendig ist nur, dass g und h, a und b, c und d als parallele Linien erscheinen und dass die Linien a, b, c, d ein Rechteck darstellen. Wir überlassen es deshalb dem Auge des Zeichners, zuerst die Richtung für eine der Linien g oder h und für eine Seite des genannten Rechtecks zu bestimmen, natürlich mit Rücksicht darauf, dass die Fluchtpunkte dieser Linien im Horizont liegen müssen, da sie geometrisch wagrecht sind. Aber angenommen, dass g und a die zuerst gezeichneten Linien seien, so ist damit nicht nur die perspectivische Richtung der mit jenen parallelen Linien h und b, sondern auch der rechtwinklig zu a stehenden Linien c und d gegeben. Für die Lage des Fluchtpunkts der 2 lezteren sind ebenso wie für die Richtung der verkürzten Parallellinien bestimmte Regeln massgebend.

Unsere n?chste Aufgabe soll demgem?ss die Beantwortung der Frage sein, welche Stellung in unserer Zeichnung wagrechte Linien zu einander haben müssen, welche in Wirklichkeit rechtwinklig zu einander stehen, wie a und d oder e und f in Fig. 14, mit andern Worten, nach welcher Regel der Fluchtpunkt einer verkürzten wagrechten Linie zu bestimmen ist, welche zu einer gegebenen Wagrechten geometrisch rechtwinklig steht.

Rechtwinklige wagrechte Linien.

§ 32. Man unterscheidet die gerade Ansicht eines rechten Winkels, Rechtecks oder Quadrats, d. i. wenn nur eine der beiden Linien, welche einen rechten Winkel bilden, verkürzt, die andere aber unverkürzt ist, wie A B und B C oder A D und D C in Fig. 25 und die schr?ge Ansicht, d. i. wenn beide Schenkel des Winkels verkürzt sind, wie a b und b c oder a d und d c. Der Ausdruck ?schr?g? bezieht sich also in diesem Zusammenhang auf die Stellung wagrechter Linien zum Auge oder zum Horizont.

Fig. 25.

In § 12 Fig. 15 und 16 wurde gezeigt, dass eine vom Auge nach dem Augpunkt gezogene Linie einen rechten Winkel zum Horizont bilden würde, d. h. mit andern Worten: wenn wir uns eine Linie von unserem Auge nach dem Horizont gezogen denken, so dass sie rechtwinklig zu diesem steht, so trifft sie den Augpunkt, der Augpunkt ist ihr Fluchtpunkt.

Steht nun eine verkürzte wagrechte Linie geometrisch rechtwinklig zu einer unverkürzten Wagrechten, wie in Fig. 25 A D oder B C zu C D, so steht sie auch zum Horizont in einem rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer von unserem Auge nach dem Augpunkt gehenden Linie und muss mit dieser denselben Fluchtpunkt haben.

Also ist der Augpunkt der Fluchtpunkt aller verkürzten wagrechten Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten (zum Horizont) geometrisch rechtwinklig stehen oder welche, wie man h?ufig sagt, sich in gerader Linie von uns entfernen. Vgl. in Fig. 14 die Linien f, f, in Fig. 20 a P, b P, c P u. s. w.

§ 33. Sind beide Linien, welche den rechten Winkel bilden, verkürzt, wie in dem Rechteck a b c d Fig. 25, so ist die Frage, wie gross die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander, d. h. das Stück des Horizonts, welches zwischen beiden liegt, sein muss. Denn je nachdem der Winkel, in welchem 2 verkürzte Linien zu einander stehen, gr?sser oder kleiner ist, wird auch die Entfernung ihrer beiden Fluchtpunkte eine gr?ssere oder kleinere sein und umgekehrt, wie aus § 31 Fig. 23 zu ersehen ist.

Fig. 26.

Ausser der geometrischen Gr?sse des betreffenden Winkels ist jedoch auch die Gr?sse der Distanz von Einfluss auf den Abstand der Fluchtpunkte seiner beiden Schenkel. Eine vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie, welche zu diesem rechtwinklig steht, trifft immer den Augpunkt und so kann auch die verkürzte Seite eines rechten Winkels in gerader Ansicht nur im Augpunkt ihren Fluchtpunkt haben, gleichviel, ob unsere Distanz gr?sser oder kleiner ist. Steht aber eine verkürzte Wagrechte in einem beliebigen andern Winkel zum Horizont oder zu einer unverkürzten Wagrechten, so liegt der Punkt, in welchem eine parallel mit ihr d. h. in demselben Winkel vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde, n?her am Augpunkt oder entfernter von ihm, je nachdem die Entfernung des Auges vom Augpunkt gr?sser oder kleiner ist. Dieselbe Linie, welche in Fig. 26 von a aus gezogen die Linie m n in z trifft, trifft sie von b aus in p, von c aus in n u. s. w. Und wenn wir 2 verkürzte wagrechte Linien vor uns haben, welche in Wirklichkeit rechtwinklig (oder in einem beliebigen Winkel) zu einander stehen, so werden die 2 Punkte, in welchen 2 parallel mit ihnen vom Auge ausgehende Linien den Horizont treffen, desto n?her beisammen liegen, je kleiner die Distanz ist und desto weiter von einander entfernt sein, je gr?sser dieselbe ist, wie Fig. 26 deutlich zeigt: o p ist gr?sser als y z, m n gr?sser als o p.

Fig. 27.

Demnach kann der Abstand der beiden Fluchtpunkte eines rechten Winkels in schr?ger Ansicht ein sehr verschiedener sein. So zeigt Fig. 27 zwei verschiedene Ansichten eines Rechtecks, welche es in derselben Stellung, aus derselben H?he und Richtung, aber aus verschiedener Entfernung gezeichnet darstellen. Mit zunehmender Distanz erscheint nicht nur das Ganze kleiner, sondern auch die Form der rechten Winkel wird eine verschiedene: da mit der Distanz die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander zunimmt, so erscheinen die Seitenwinkel bei b und d in B spizer, der Winkel bei a und c erscheint stumpfer als in A.

Natürlich ist die Wirkung dieselbe, wenn wir, statt die Entfernung unseres Standpunkts zu ver?ndern, den betreffenden Gegenstand n?her oder ferner rücken, vgl. Fig. 29.

Es muss daher die genaue Gr?sse der für eine Zeichnung angenommenen Distanz mittels eines Distanzpunkts angegeben und dieser zu Hilfe genommen werden, wenn der Abstand jener 2 Fluchtpunkte von einander genau berechnet werden soll. Wie lezteres geschehen kann, ist in § 81–85 gezeigt. Da jedoch die Gr?sse der vom Zeichner angenommenen Distanz mit blossem Auge aus den Linien einer Zeichnung nicht zu ersehen ist, so kann gew?hnlich diese genauere Berechnung entbehrt und durch Beobachtung der nachfolgenden Regel ersezt werden.

§ 34. überall, wo die Gr?sse der Distanz von wesentlichem Einfluss ist auf die perspectivische Form, kommt es haupts?chlich darauf an, die falsche Wirkung zu vermeiden, welche aus einer zu klein angenommenen Distanz entsteht. Bei Darstellung eines rechten Winkels in schr?ger Ansicht entsteht diese falsche Wirkung, wenn die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander zu klein ist.

Fig. 28.

Betrachten wir in Fig. 28 D als unser Auge, P als Augpunkt, so bezeichnet die Linie D P die Gr?sse der Distanz. Ziehen wir nun (mit Hilfe des Winkels Fig. 9) von D aus in verschiedener Richtung je 2 rechtwinklig zu einander stehende Linien nach der durch P gehenden Wagrechten d. h. nach dem Horizont, z. B. D c und D d, D a und D b, D Dg und D Dp, so ergibt sich, dass die 2 Punkte, in welchen die verschiedenen Linienpaare den Horizont treffen, dann den geringsten Abstand von einander haben, wenn sich die beiden Linien in der Stellung zum Horizont befinden, welche D Dg und D Dp zeigen. Diese stehen zum Horizont, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, wie m n und m o zu o n, d. h. beide stehen in einem halben rechten Winkel zum Horizont. Dg und Dp sind Diagonalpunkte: ihre Entfernung vom Augpunkt ist gleich der Distanz und ihre Entfernung von einander doppelt so gross als die Distanz, Dg–Dp ist gleich 2 mal Dp.

Bei jeder andern Stellung der beiden Linien zum Horizont ist der Abstand jener beiden Punkte ein gr?sserer und er wird immer gr?sser, je ungleicher die Stellung der beiden Linien zum Horizont ist: c d ist gr?sser als Dp–Dg, a b gr?sser als c d u. s. w.

§ 35. Hieraus folgt, dass die 2 Fluchtpunkte eines rechten Winkels in schr?ger Ansicht wenigstens so weit von einander entfernt sein müssen, dass der zwischen ihnen liegende Teil des Horizonts doppelt so gross ist, als die Distanz. Diese muss nach § 18 wenigstens doppelt so gross sein, als eine Diagonale des Bildes, oder als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte, also muss, wenn beide Schenkel eines aus 2 wagrechten Linien bestehenden rechten Winkels verkürzt sind, die Entfernung ihrer Fluchtpunkte von einander wenigstens 4 mal so gross sein, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte der Zeichnung. Z. B. in Fig. 31 müssen, wenn A B und A C geometrisch rechtwinklige Linien sind, P Augpunkt und f die von P entfernteste Ecke des Bildes ist, die Fluchtpunkte der beiden genannten Linien einen Abstand von einander haben, der wenigstens = 4 mal P f ist.

Kommen in demselben Bilde verschiedene rechte Winkel in schr?ger Stellung vor, so müssen sie selbstverst?ndlich in übereinstimmender Weise behandelt, d. h. es muss überall dieselbe Distanz zu Grunde gelegt werden.

Die falsche Wirkung, welche entsteht, wenn gegen jene Regel gefehlt wird, zeigt Fig. 29. Die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander ist = 4 mal P f; daher wirken alle rechten Winkel, welche innerhalb der Kreislinie f f liegen, perspectivisch richtig, aber die Winkel bei m, n und o k?nnen nicht mehr als rechte Winkel gelten.

Fig. 29.

Andererseits zeigt Fig. 25, dass dem Zeichner innerhalb der angegebenen Grenze einige Freiheit gestattet ist: a b e f wird auch dem geübtesten Auge ebenso als richtiges Bild eines Rechtecks erscheinen, wie a b c d.

§ 36. Allerdings ist nicht sofort ersichtlich, wie gross die Entfernung der beiden Fluchtpunkte ist oder sein muss, da niemals beide innerhalb der Zeichnung, h?ufig dagegen weit ausserhalb derselben liegen. Will man sich nicht mit der Aushilfe begnügen, welche § 27 in Betreff entfernter Fluchtpunkte angegeben wurde, so ist in Fig. 30 eine genauere Berechnung gezeigt. A B und A C seien 2 verkürzte wagrechte Linien. Eine von A zum Horizont gezogene Senkrechte A P ist in 4 gleiche Teile geteilt und vom oberen Teilungspunkt a sind 2 Linien a b und a c geometrisch parallel mit A B und A C gezogen, indem an beliebigen Punkten der lezteren Linien z. B. in D und E 2 Senkrechte errichtet und D d und E e = A a gemacht wurden. c b kann nun als ein Viertel des Abstandes betrachtet werden, welchen die Fluchtpunkte der Linien A B und A C von einander haben und es l?sst sich hienach bemessen, ob derselbe hinreichend gross ist. W?re z. B. f der von P entfernteste Punkt der Zeichnung, so dürften die beiden Linien A B und B C nicht st?rker als hier der Fall ist gegen einander geneigt sein, der Abstand ihrer Fluchtpunkte dürfte nicht kleiner sein als 4 mal c b; denn c b ist = P f.

Fig. 30.

Oder: wenn A B als erste Linie gezeichnet ist, so muss, nachdem a b parallel mit A B gezogen und b c = P f gemacht ist, die zweite von A ausgehende Linie entweder parallel mit a c oder nach einem ferner liegenden Fluchtpunkt gerichtet sein, d. h. eine flachere Richtung haben, als A C.

Würden bei einer Vierteilung der erstgenannten Senkrechten nicht beide den Punkten b und c entsprechenden Punkte innerhalb der Zeichnung fallen, so halbiere man das dem Horizont zun?chst liegende Viertel und ziehe von hier aus die beiden Linien nach dem Horizont, also i g und i k statt a b und a c. Die Punkte, wo sie den Horizont treffen, hier g und k, müssen in diesem Fall einen Abstand haben, der wenigstens halb so gross ist, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte.

Verkürzte wagrechte Linien, deren Richtung nicht genau zu berechnen ist.

§ 37. Wo die perspectivische Richtung einer verkürzten wagrechten Linie ohne genauere Berechnung gefunden werden muss, bietet die Vergleichung mit einer unverkürzten Wagrechten das beste Mittel, um den Grad, in welchem jene nach dem Horizont hin fallen oder steigen muss, richtig zu beurteilen. Man halte zu diesem Zweck den Rand des Zeichenblattes, ein Lineal oder dergl. in der Richtung einer unverkürzten Wagrechten so zwischen Auge und Gegenstand, dass ein Endpunkt der verkürzten Linie, welche man zeichnen will, davon durchschnitten wird, wie in Fig. 34 der Punkt a von der Linie e f. übrigens ist auch die perspectivische L?nge einer verkürzten Linie von wesentlichem Einfluss auf die richtige oder unrichtige Wirkung ihrer perspectivischen Richtung. Je weniger die Stellung einer verkürzten Wagrechten zum Horizont von der Richtung des lezteren abweicht, desto weniger ver?ndert sich ihr Gr?ssenverh?ltnis zu andern Linien; je mehr sie der rechtwinkligen Stellung zum Horizont, ihr Fluchtpunkt dem Augpunkt sich n?hert, desto kürzer scheint sie zu werden, vgl. Fig. 23. Es kommt nun h?ufig vor, dass die perspectivische Richtung verkürzter Linien, wenn sie ganz der Regel entsprechend angegeben ist, dennoch eine falsche Wirkung macht, weil ihr perspectivisches Gr?ssenverh?ltnis verfehlt ist und zwar geschieht dies gew?hnlich in der Weise, dass sie zu lang gezeichnet wird (vgl. § 7).

Wagrechte Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzug?nglich ist.

Fig. 31.

§ 38. In Fig. 31–33 ist gezeigt, wie die Richtung verkürzter wagrechter Parallellinien, deren Fluchtpunkt nicht erreichbar ist, genau berechnet werden kann. Es seien in Fig. 31 gegeben die Wagrechten A B und A C sowie die Senkrechten A D und C E und sollen von D und E Linien parallel mit A B, von D und B 2 weitere parallel mit A C gezeichnet werden. Man bilde über A B mit der Horizontlinie und einer in B errichteten Senkrechten das Rechteck A B b P und errichte in i, dem Schnittpunkt seiner Diagonalen, eine Senkrechte, ziehe hierauf eine Linie von D nach b und von P durch den Punkt k, in welchem D b jene Senkrechte schneidet, eine Linie nach der verl?ngerten B b, so ist D G perspectivisch parallel mit A B.

Ebenso ist auf der andern Seite durch die Diagonalen des Rechtecks A C c P dessen perspectivischer Mittelpunkt gefunden und eine in diesem errichtete Senkrechte benüzt, um die Lage des Punktes d und hiemit die Richtung der mit A C parallelen Linie D d zu bestimmen.

Um von E eine mit A B parallele Linie zu zeichnen, kann leztere bis zu der durch E gehenden Senkrechten also bis s verl?ngert und die perspectivische Mittellinie des Rechtecks s A P c wie oben benüzt werden, um den Punkt t zu erhalten. Oder kann seitw?rts ein Rechteck s o H c gebildet, mittels seiner senkrechten Halbierungslinie oben der Punkt e gefunden und hierauf e E nach rechts verl?ngert werden.

Wie auf gleiche Weise die mit A C parallele Richtung der von B ausgehenden Linie B g und damit B r mittels der Halbierungslinie eines Rechtecks b a f h gefunden wird, ist aus den Linien der Figur zu ersehen. Statt der Linie A C k?nnte auch eine andere mit ihr parallele Linie z. B. d D verl?ngert und durch die Diagonalen y h und z b die Mittellinie von b h z y gefunden werden.

Um schliesslich den Punkt F zu erhalten, kann von C eine mit A B parallele Linie gezeichnet und in dem Punkte r, in welchem sie die verl?ngerte B g trifft, eine Senkrechte errichtet werden, welche die parallel mit A B von E ausgehende Linie in F schneidet.

Ist so das schr?g liegende Rechteck E D G F gegeben, so l?sst sich die schr?ge Mittellinie desselben (welche sich durch Verbindung des perspectivischen Halbierungspunktes von D G mit dem Schnittpunkt der Diagonalen D F und E G ergibt) verwenden, um von einem beliebigen Punkte der Linien D E oder G F eine mit D G parallele Linie zu ziehen, z. B. m n.

§ 39. In Fig. 32 sollen, nachdem A B und A C als Seiten eines Rechtecks gegeben sind, die beiden andern Seiten gezeichnet werden. Da der Raum nicht gestattet, die genannten Linien wie in Fig. 31 bis zu den 2 von C und B abw?rts gezogenen Senkrechten zu verlangen, so sind A a, B b und C c halbiert und durch die Halbierungspunkte die Linien g f e und h f k gezogen, welche perspectivisch parallel sind mit A B und A C. Entsprechend § 38 ist nun eine Senkrechte durch i, den Schnittpunkt der Diagonalen a e und c f gezogen, welche von der Linie f C in m geschnitten wird. Eine Linie von e durch m ergibt auf der Senkrechten A a den Punkt p und die mit A B parallele Richtung C p. In gleicher Weise ist die mit A C parallele Richtung B o durch die senkrechte Mittellinie des Rechtecks a b k f gefunden; statt dessen k?nnte auch, wie die Figur zeigt, ein seitw?rts gebildetes Rechteck zu demselben Zweck verwendet werden.

Fig. 32.

Bequemer w?re jedoch in diesem Fall das in Fig. 33 angewendete Verfahren, wo gleichfalls A B und A C die gegebenen Seiten eines zu bildenden Rechtecks sein sollen.

Fig. 33.

Wenn in einem von 6 Quadraten oder Rechtecken umschlossenen Raume zwischen 2 entgegengesezten Ecken Diagonallinien gezogen werden, wie in Fig. 40 die Linien a b und B c, so schneiden sich dieselben in der Mitte jenes Raums: p Fig. 40 ist die Mitte von A B b C c a G h. Eine durch p gezogene Senkrechte trifft also die Rechtecke a G h c und A B b C in dem Durchschnittspunkt ihrer Diagonalen. Ziehen wir nun in Fig. 33 von A, B und C bis zum Horizont die Senkrechten A a, B b und C c, so entsprechen die Linien B c und C b, welche sich in e schneiden, den Diagonalen B c und a b Fig. 40 und eine von e abw?rts gezogene Senkrechte ergibt o als perspectivische Mitte der Diagonale C B. Die Diagonalen A b und a B schneiden sich in k, A c und a C in i; g und m sind also die perspectivischen Halbierungspunkte von A B und A C; z ist Fluchtpunkt der Diagonale A o und folglich auch der von g nach der Mitte von B D gehenden Linie, da beide geometrisch parallel sind. g z und die verl?ngerte m o schneiden sich in n, A z und die verl?ngerte B n in D, womit die Form des Rechtecks gegeben ist.

Die verl?ngerten Mittellinien m n und g o k?nnen sodann benüzt werden, um entsprechend Fig. 31 und 32 weitere mit A B und A C parallele Linien zu ziehen. Soll z. B. von d nach links eine mit A C parallele Linie gezeichnet werden, so schneidet man die verl?ngerte m n durch D d in p und zieht von B durch p eine Linie nach f; d f ist somit parallel mit A C und B D.

§ 40. Muss eine gr?ssere Anzahl von Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzug?nglich ist, gezeichnet werden, so würde es zu umst?ndlich sein, jede einzelne genau zu berechnen. Man kann sich in diesem Fall begnügen, einige in passenden Zwischenr?umen zu konstruieren, um mit Hilfe derselben ohne weitere Berechnung die übrigen zu zeichnen. So k?nnen in Fig. 21, wenn die Richtung c d gegeben ist, mittels der senkrechten Halbierungslinie von c d e f die von g, h und i ausgehenden Parallellinien genau berechnet und sodann die zwischen ihnen liegenden ohne weitere Berechnung gezeichnet werden.

Oder k?nnen von 2 beliebigen Punkten der zuerst gezeichneten Wagrechten 2 Senkrechte bis zum Horizont gezogen und beide in eine gleiche Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden wie in Fig. 30 A P, B G und C F in je 4 Teile geteilt sind. Durch die Verbindung der entsprechenden Teilungspunkte erh?lt man perspectivische Parallellinien, zwischen welchen dann weitere gezogen werden k?nnen, vgl. Fig. 75 die Teilung von A D und B C in je 9 Teile. Je nach Bedürfnis kann sodann dieselbe Einteilung nach oben oder unten in der Verl?ngerung jener Senkrechten fortgesezt werden.

Ein weiteres Verfahren, die Richtung verkürzter Parallellinien ohne Hilfe ihres Fluchtpunkts zu bestimmen, ist in § 70 angegeben.

Verkürzte schr?ge Linien.

§ 41. In Fig. 36 ist a c eine nach der Ferne hin steigende, a g eine dorthin fallende Linie. (Wenn im Folgenden von fallenden oder steigenden Linien die Rede ist, so sind immer Linien gemeint, welche in Wirklichkeit oder geometrisch nach der Ferne hin fallen oder steigen). Bilden wir das Massdreieck dieser Linien (vgl. § 23) mittels der Wagrechten a b und der 2 Senkrechten b c und b g, so ist klar, dass eine steigende Linie wie a c, soweit man sie verl?ngern mag, niemals einen Punkt treffen kann, der unterhalb der wagrechten Linie ihres Massdreiecks oder deren Verl?ngerung liegt und ebenso wenig eine fallende Linie wie a g einen Punkt, der über jener Wagrechten liegt.

Also liegt der Fluchtpunkt einer verkürzten schr?gen Linie oberhalb des Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin steigt, unterhalb des Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin f?llt; vgl. die steigenden und fallenden Linien in Fig. 37.

§ 42. Es kann vorkommen, dass gem?ss dieser Regel eine steigende Linie so gezeichnet werden muss, dass ihr fernerer Endpunkt tiefer liegt als der n?here, vgl. a c Fig. 34. H?ufiger ist der umgekehrte Fall, dass Linien, welche in Wirklichkeit nach der Ferne hin fallen, perspectivisch nach dorthin steigen, wie a b und c d Fig. 35.

Fig. 34.

In solchen F?llen ist es n?tig, durch Hervorheben von geometrisch wagrechten Linien der n?chsten Umgebung, welche zu den betreffenden schr?gen Linien einen sichtbaren Gegensaz bilden, die Wirkung der lezteren zu unterstüzen, damit sie mit hinreichender Deutlichkeit das ausdrücken, was sie sein sollen. In Fig. 34 sind es z. B. die Balken der rechten Seite, in Fig. 35 die wagrechten Fugenlinien der anstossenden Mauer, welche es dem Beschauer deutlich machen, dass a c dort eine in Wirklichkeit von a nach c steigende, a b in Fig. 35 eine nach b fallende Linie ist.

Fig. 35.

§ 43. In Fig. 36 sind a b und e f wagrechte Parallellinien, ebenso a e, b f und c d; a c und e d sind schr?ge Parallellinien. Wenn zwischen parallelen Linien Verbindungslinien liegen, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang (§ 1, Fig. 1); also sind a e, b f und c d gleich lang, d. h. die Entfernung der schr?gen Parallellinien a c und e d und diejenige der wagrechten a b und e f von einander ist gleich gross. Da der Abstand dieser Parallellinien von einander nach der Ferne hin in gleichem Masse kleiner zu werden scheint, d. h. in gleicher Tiefe immer wieder derselbe ist – m n ist = o p u. s. w. – so müssen beide in gleicher Tiefe zusammentreffen, d. h. ihre Fluchtpunkte müssen in Einer senkrechten Linie liegen, wie Fig. 36 deutlich zeigt.

Fig. 36.

Dasselbe gilt selbstverst?ndlich für die fallenden Linien a g und e h. Mit andern Worten: der Fluchtpunkt einer verkürzten schr?gen Linie liegt senkrecht über oder unter dem Fluchtpunkt der wagrechten Linie ihres Massdreiecks.

So liegt in Fig. 37 der Fluchtpunkt der Linien a, b, c und d senkrecht über n, der Fluchtpunkt der Linien g und i senkrecht unter n, die Fluchtpunkte von e, f und k liegen in einer Senkrechten, welche durch den Fluchtpunkt der Wagrechten o und p geht.

Ist demnach a c Fig. 36 als Richtung einer schr?gen Linie, a b als Richtung der wagrechten Linie ihres Massdreiecks angenommen, so ist auch die perspectivische Richtung aller mit a c parallelen Linien gegeben, indem a b bis zum Horizont, a c bis zu der senkrechten durch den Fluchtpunkt von a b gehenden Linie verl?ngert und so der die Richtung der parallelen Linien bestimmende Fluchtpunkt gefunden wird.

§ 44. Befinden sich in einer verkürzten senkrechten Fl?che steigende und fallende Linien, welche in Wirklichkeit denselben Neigungswinkel haben, so liegen ihre Fluchtpunkte in gleicher Entfernung vom Horizont.

Solche Linien sind z. B. a c und a g Fig. 36; a und g, d und i, f und k Fig. 37. In Fig. 36 ist a c g in Wirklichkeit ein gleichschenkliges Dreieck, also muss eine von seiner Spize a nach der Grundlinie c g gezogene Wagrechte die leztere in ihrem Halbierungspunkt b treffen; werden a c und a g verl?ngert und an beliebiger Stelle durch eine Senkrechte s m verbunden, so wird leztere durch die verl?ngerte a b gleichfalls halbiert, also muss auch z, der Fluchtpunkt von a b, in der Mitte liegen zwischen x und y, den Fluchtpunkten von a g und a c.

Fig. 37.

In Fig. 37 ist h h parallel mit i i (da beide denselben Fluchtpunkt haben) und die Senkrechte y z wird von der Wagrechten m n in der Mitte durchschnitten. Ebenso muss n in der Mitte liegen zwischen den Fluchtpunkten der Linien h, i, g und c, d, a; die Fluchtpunkte von e, f und k müssen gleich weit entfernt sein vom Fluchtpunkt der Wagrechten o und p.

Berechnung der Richtung schr?ger Linien ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte.

§ 45. Man bedient sich jedoch, um die Richtung verkürzter schr?ger Linien zu berechnen, selten ihrer Fluchtpunkte, da dieselben in den meisten F?llen ausserhalb der Zeichenfl?che liegen. Den n?chstliegenden Ersaz bietet die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks. Ist Richtung und L?nge der wagrechten sowie die H?he der senkrechten Linie eines solchen Dreiecks gegeben oder leicht zu berechnen, so ist damit auch die Richtung (und L?nge) der betreffenden schr?gen Linien gefunden.

Nehmen wir z. B. an, dass in Fig. 38 die Linie A C gegeben sei und darüber ein Giebel von beliebiger H?he, dessen 2 Seiten mit A C in Wirklichkeit ein gleichschenkliges Dreieck bilden, gezeichnet werden soll, so kann k als perspectivische Mitte von A C durch die Diagonalen eines Rechtecks A C E D oder A C g f gefunden und in k eine Senkrechte errichtet werden, in welcher die Spize des Giebeldreiecks liegen muss. – Ist das Dreieck A B k gegeben, so dass der Punkt C bestimmt werden muss, so bildet man mit A k und einer beliebigen Parallellinie, z. B. i D, ein Rechteck A k i D und zieht eine Linie von D durch die Mitte von i k nach der verl?ngerten A k, wodurch C k = A k gemacht ist.

Fig. 38.

Soll, nachdem D F und D E gegeben sind, von E abw?rts eine Linie gezeichnet werden, welche denselben Neigungswinkel hat, wie D F, so wird leztere verl?ngert bis e, wo sie die senkrechte Mittellinie trifft und von e durch E die Linie E G gezogen. – Oder kann von F eine mit D E parallele Linie nach links und die senkrechte Mittellinie von E D f g gezogen, die von y nach H H gehende Senkrechte halbiert und hierauf durch eine Linie von r durch diesen Halbierungspunkt der Punkt G bestimmt werden.

§ 46. In Fig. 39 ist angenommen, dass die perspectivische Richtung und L?nge der Linien A B und A C, die H?he A a und die Breite a c bestimmt seien, womit auch die Richtung der schr?gen Linie A c gegeben ist, in welcher die inneren Ecken der Stufen liegen müssen; die ?usseren Ecken liegen in einer mit A c parallel von a ausgehenden Linie, deren Richtung gefunden wird, indem man c d = b c macht. Eine Linie von d nach dem Fluchtpunkt von A C ergibt e, eine Senkrechte von hier den Punkt f. Bildet man hierauf das Rechteck A C h g, so kann mittels seiner Diagonalen m n als senkrechte Mittellinie gefunden werden; C m n ist demnach = A m n und die Ecken der ferneren Stufen k?nnen durch die von a und k nach dem Fluchtpunkt von A C gezogenen Linien und die entsprechenden Senkrechten gefunden werden. (übrigens kann dieselbe Aufgabe auch ohne Hilfe der zweiten schr?gen Linie gel?st werden: man macht a k und k g = A a, zieht von diesen Punkten aus die mit A C parallelen Linien und erh?lt die Punkte d und f durch die in c und e errichteten Senkrechten.) Die übrigen Linien der Figur sind teils senkrecht, teils sind sie parallel mit A C oder mit A B.

Fig. 39.

§ 47. Ein Beispiel, wie die Richtung verkürzter schr?ger Parallellinien ohne Hilfe ihres Fluchtpunkts berechnet werden kann, ist auch in Fig. 31 enthalten, wo, um den Punkt F zu finden, B r und C r gezogen und in r eine Senkrechte errichtet wurde, welche auf der von E ausgehenden Wagrechten den Punkt F und hiemit die mit D E parallele Richtung der Linie G F ergibt. Auf dieselbe Weise kann in Fig. 40, wenn das Dreieck A B D und die Wagrechte A C gegeben sind, die Richtung der mit A D parallelen Linie C E berechnet werden, indem man von C eine mit A B, von d und D zwei mit A C parallele Linien zieht und in e eine Senkrechte errichtet. Ebenso kann F n gefunden werden durch die Linien F m und m n.

Fig. 40.

In Fig. 38 kann von p aus eine Linie parallel mit A B gezeichnet werden mittels der Linien k x, p x und einer in x errichteten Senkrechten. Oder kann man in A und p 2 Senkrechte errichten, B b parallel mit A C, b o parallel mit A p ziehen und hierauf durch eine weitere mit A C parallele Linie von o aus den Punkt n bestimmen.

Soll von D aus abw?rts eine mit A B parallele Linie gezeichnet werden, so kann durch die Verl?ngerung von A B, A C und D E ein Dreieck A c d gebildet und d h = c d gemacht werden, wodurch D h parallel mit B A ist. Oder kann, nachdem das Dreieck A B b gezeichnet ist, D a = A b gemacht und von a eine mit A C und b B parallele Linie bis zu der Senkrechten B k gezogen werden, wodurch e D parallel mit A B ist und von D aus verl?ngert werden kann. Es k?nnte ferner, wenn F z geometrisch = y z ist, durch den Halbierungspunkt von D z eine Linie von i nach der verl?ngerten y z gezogen werden.

§ 48. In Fig. 41 sei A G a und A o gegeben. Um die Richtung der parallel mit A a von B, i und o ausgehenden Linien zu berechnen, ist durch den Halbierungspunkt der Senkrechten n a eine mit A G parallele Linie nach f und von hier aus f g als wagrechte Mittellinie des Daches gezogen, welche nun ?hnlich wie die Mittellinien in Fig. 31 benüzt werden kann, um zwischen A B und a p beliebige mit A a parallele Linien z. B. B b, i k und o p zu zeichnen: man zieht a B und A r b, b i und B s k u. s. w. Die Richtung der Linie C c ist auf die in § 45 Fig. 38 angegebene Weise berechnet: d h ist = n a gemacht und von h eine Linie durch C nach der verl?ngerten m z gezogen. Der Punkt F ergibt sich durch eine parallel mit A G von E nach der Verl?ngerung von b B gezogenen Linie; eine Senkrechte von F abw?rts schneidet die von c nach rechts gehende Wagrechte in e, womit E e gegeben ist.

Fig. 41.

Sind auf solche Weise einige Parallellinien gezeichnet, so kann die perspectivische Richtung weiterer zwischen ihnen liegender Linien auch ohne genaue Berechnung jeder einzelnen ohne Schwierigkeit bestimmt werden.

Verschiedene Beispiele. Treppen, D?cher, Dachfenster, Turmhelme.

§ 49. Die Anwendung des vorangegangenen ist in Fig. 42–60 an weiteren Beispielen gezeigt. Der Gleichartigkeit des Gegenstands wegen befinden sich unter denselben auch solche, bei denen die im folgenden Abschnitt besprochene Form des verkürzten Quadrats als gegeben betrachtet werden muss.

Für die Construction der Treppe Fig. 42 nehmen wir die H?he und Breite der untersten Stufe, also die perspectivische L?nge der Linien B b und b c, sowie die Linie A B als gegeben an. Da leztere eine unverkürzte Wagrechte ist, so muss der Augpunkt Fluchtpunkt der Linie b c sein. Wird nun b m = B b gemacht, in c eine Senkrechte errichtet und von m eine Linie nach P gezogen, so ist c n die perspectivische H?he der zweiten Stufe und es ist durch b n die Richtung der schr?gen Linie gegeben, in welcher die vorderen Ecken der folgenden Stufen liegen müssen. Hierauf wird auf der verl?ngerten B m die H?he B b mit dem Zirkel so oft wiederholt, als n?tig ist, um die gewünschte Zahl von Stufen zu erhalten und werden von den Teilungspunkten Linien nach P gezogen. Die Punkte, in welchen leztere die Linie b d schneiden, sind die vorderen Ecken der Stufen, die hinteren dem Punkte c entsprechenden Ecken ergeben sich durch die von o, p u. s. w. abw?rts gezogenen Senkrechten. Auf der andern Seite schneiden sich a P und die von c nach links gezogene Wagrechte in y, eine Wagrechte von n nach links und eine in y errichtete Senkrechte schneiden sich in z u. s. w.

Fig. 42.

Um von F aus die mit a D und b d parallele Linie des Gel?nders zu zeichnen, ist durch die Diagonalen eines Rechtecks g h d D dessen wagrechte Mittellinie bestimmt, welche von der Linie F d in i geschnitten wird, worauf die von h durch i nach D d gezogene Diagonale den Punkt f und hiemit F f als Parallele von h d ergibt.

§ 50. Fig. 43 zeigt 2 h?ufige Formen von Dachfenstern. m y und n z sind parallel mit A D zu zeichnen, y z, o p, m n parallel mit A C; die H?he m o sowie die L?nge m y sind beliebig, vorausgesezt, dass o y und p z als nach y und z hin steigende Linien gezeichnet sind.

Fig. 43.

Bei der zweiten Form ist d f parallel mit A D; die H?he des Giebels kann beispielsweise in i oder in c angenommen werden; e f, i k, c b sind parallel mit A B; die Punkte b oder k liegen sodann da, wo die von c oder i parallel mit A B gezogenen Wagrechten sich mit einer schr?gen Linie schneiden, welche von a, der Mitte von d h, parallel mit A D aufsteigt. Durch den Punkt b, in welchem die leztgenannte Linie und die Firstlinie des Hauptdaches sich schneiden, ist c b als gr?sste H?he gegeben, welche für die obere Wagrechte des Dachfensters angenommen werden darf, d. h. eine von seiner Giebelspize parallel mit A B gezogene Wagrechte darf die von a parallel mit A D ausgehende Linie nicht jenseits des Punktes b, nicht oberhalb der Firstlinie D b treffen, es w?re denn, dass eine entsprechende Fortsezung auf der andern Dachseite angenommen würde.

§ 51. In Fig. 44 seien a b und b c als zwei Seiten eines quadratischen Turmes gegeben und soll darüber ein Dach gezeichnet werden, dessen Spize über der Mitte des ganzen Turmes, d. h. seiner quadratischen Grundfl?che liegt. Zieht man die mit a b und b c parallelen Linien d c und a d, so muss die Spize in einer Senkrechten liegen, welche in dem Schnittpunkte der Diagonalen a c und b d errichtet wird; die H?he der Spize ist beliebig. Bequemer wird in den meisten F?llen die Mitte des Ganzen auf die § 39 angegebene Weise gefunden: man zieht an beliebiger Stelle die mit a b und b c parallelen Linien e f und f g (oder benüzt statt derselben die Horizontlinie), um mittels der Diagonalen c e und a g den gewünschten Punkt zu erhalten, in welchem jene Senkrechte zu errichten ist.

Fig. 44.

Fig. 45.

H?ufig kann man sich auch damit begnügen, die 2 ?usseren Senkrechten z. B. in Fig. 44 e a und g c, nach oben zu verl?ngern und die Spize in die Mitte zwischen beide zu verlegen. Das Resultat stimmt zwar nicht immer vollst?ndig mit dem der genauen Berechnung überein, doch ist die Abweichung eine so geringe, dass die richtige Wirkung nicht dadurch beeintr?chtigt wird; vgl. Fig. 45.

§ 52. In Fig. 45 sind zuerst von a, b und c aus 3 Linien nach einem tiefer liegenden Punkte o der senkrechten Mittellinie gezogen, hierauf an beliebiger Stelle die mit a b und b c parallelen Linien k m und m n und von den Punkten k, m und n 3 Linien nach der h?her liegenden Spize p.

Die Construction von Fig. 46 ist hienach leicht zu verstehen. In Fig. 47 sind von a, b und c aus zuerst 3 Linien nach dem h?her in der Mittellinie liegenden Punkt p, hierauf die mit a b und b c parallelen d e und e f, und nach dem tiefer liegenden Punkt o die Linien d o, e o und f o gezogen.

Fig. 46.

Fig. 47.

§ 53. Bei der in Fig. 48 und 49 dargestellten Dachform liegen die Punkte E und F senkrecht über den Punkten m und n, welche ihrerseits in der Mittellinie a b des Rechtecks A B C D liegen. m a ist in Wirklichkeit = n b; denken wir uns die senkrecht über A B und C D stehenden Giebelw?nde A B d und D C f hinzugezeichnet, so w?re auch E d = F f. Gew?hnlich haben die beiden schr?gen Dreiecke (A B E und D C F) denselben Neigungswinkel wie die anstossenden Breitseiten des Daches. In diesem Fall müssen die senkrecht unter E und F liegenden Punkte m und n Mittelpunkte zweier Quadrate sein, deren Seiten = A B sind, so dass m a = A a w?re. Doch ist die Form auch dann eine richtige, wenn angenommen wird, dass der Neigungswinkel jener Fl?chen (A B E und A E F D) ein verschiedener sei. Die Hauptsache ist, dass E und F von d und f oder m und n von a und b gleich weit entfernt sind, mit andern Worten, dass die beiden Dreiecke A B E und C D F die gleiche Neigung haben. Zu diesem Zweck bestimme man in Fig. 48, angenommen, dass A B E und A D gegeben seien, die perspectivische Mitte der Firstlinie in h (mittels A C und B D oder B z und D y) bilde das Rechteck E h e c und ziehe c F durch die Mitte von h e, so ist F h perspectivisch = E h. Oder man verbinde (Fig. 49) den Halbierungspunkt r der Linie A D mit h, der wie oben gefundenen Mitte der Firstlinie, ziehe die Diagonale E D und durch den Punkt, in welchem E D und r h sich schneiden, eine Linie von A nach F.

Fig. 48.

Fig. 49.

Oder auch man bestimme, nachdem A B E und A D (Fig. 49) gegeben sind, die perspectivische Mitte von A B und C D, also die Punkte a und b, ziehe von a durch E eine Linie nach der senkrechten Mittellinie des Ganzen (errichtet im Schnittpunkte der Diagonalen B z und D y) und von o eine Linie nach b, welche die Firstlinie in F schneidet.

§ 54. Um das Dach Fig. 50 zu construieren, wird zuerst die einfache Dachform C A a g h und an beliebiger Stelle die Wagrechte e f parallel mit A a, sowie e c parallel mit A C gezeichnet. Die perspectivische Mitte von A C ist m, eine Linie von hier durch den Schnittpunkt i ergibt den Punkt n als Mitte der Firstlinie. Die Lage des einen der beiden Punkte D oder d wird beliebig angenommen, die des zweiten durch die Diagonalen D c und e d, wie in Fig. 49, § 53, gefunden.

Fig. 50.

H?ufig wird es auch genügen, bei Darstellung von Dachformen wie Fig. 48–50 zuerst die gew?hnliche Dachform mit senkrechten Giebelw?nden oder die perspectivische Mitte der Firstlinie anzugeben und nach dem Ermessen des Auges den ferneren der beiden geometrisch gleich grossen Teile kleiner zu zeichnen, als den n?heren, also z. B. in Fig. 50 dafür zu sorgen, dass n d kleiner sei als D n, d h kleiner als g D.

§ 55. Wenn in einem Dach von der Fig. 48–50 dargestellten Form Dachfenster wie in Fig. 43 gezeichnet werden sollen, so muss die schr?ge Mittellinie der betreffenden Seite gesucht werden. In Fig. 51 z. B. muss die Linie e d perspectivisch parallel sein mit c D; w?re das Dachfenster nicht in der Mitte von A B D, so müsste eine mit c D parallele Linie entsprechend der Linie a b in Fig. 43 gezeichnet und sodann wie dort weiter verfahren werden.

Fig. 51.

Auf der anstossenden Seite A C E D müssen a b, f g u. s. w. parallel sein mit der Mittellinie m n. In Fig. 53 w?re f c am unteren, c z am oberen Teil massgebend für die schr?gen Linien eines Dachfensters.

§ 56. Fig. 52, ein Staffelgiebel, ist so construiert, dass zuerst die einfache Dachform a b c g e und die parallel mit a c von f und d ausgehenden Linien gezeichnet wurden (d g kleiner als f c). Um die H?he der einzelnen Abs?ze zu bestimmen, ist in k eine über a hinausreichende Senkrechte k z errichtet und in die erforderliche Anzahl von gleichen Teilen geteilt. Durch die Teilungspunkte sind die Linien m n, o p u. s. w. und nach dem Fluchtpunkt der andern Seite m i, o h u. s. w. gezogen. Das Weitere ist aus den Constructionslinien der Fig. 52 leicht zu ersehen.

Fig. 52.

§ 57. Die Form eines Mansardendaches Fig. 53 ist stets eine solche, dass die 4 Seiten des unteren und ihrerseits diejenigen des oberen Teiles denselben Neigungswinkel haben. Es muss daher, wenn A B und A C gegeben sind, von A C ein Teil A f abgeschnitten werden, welcher perspectivisch = A B ist, so dass die senkrechte Linie, in welcher die Punkte k und d liegen müssen, über der Mitte eines Quadrats (A B p f) oder über dem Schnittpunkt der Diagonalen B m und f n errichtet werden kann. Nachdem nun A a, a b, B b, a d und b d gezeichnet sind (vergl. § 52, Fig. 47), so werden die von a, d und k parallel mit A C ausgehenden Linien gezogen; i ergibt sich auf die § 53, Fig. 48 gezeigte Weise (nachdem z als Mitte der Firstlinie bestimmt ist), e durch eine von i abw?rts gezogene Senkrechte, g durch eine Linie von i nach C.

Fig. 53.

§ 58. Der Turmhelm Fig. 54 und 55 ist eine an Bauten des romanischen Stils h?ufige Form: die 4 Seiten des quadratischen Turms schliessen oben mit 4 Giebeln ab, von deren Spizen 4 Linien nach der Turmspize gehen und so mit den Giebellinien 4 rautenf?rmige Fl?chen bilden. Zun?chst müssen die Giebelspizen in gleicher H?he liegen; angenommen, dass in Fig. 54 a b d und a c gegeben seien, so k?nnen die senkrechten Ecklinien von a und b nach oben verl?ngert werden, bis sie eine parallel mit a b durch d gezogene Wagrechte treffen; eine Wagrechte von g aus parallel mit a c und eine Senkrechte über der perspectivischen Mitte von a c ergeben sodann den Punkt f, eine gleichfalls mit a c parallele Linie von h und eine mit a b parallele Linie von f aus den Punkt e (vergl. Fig. 56).

Fig. 54.

Fig. 55.

In Fig. 55 ist die Stellung des Turmes eine solche, dass nur eine der oberen 4 Fl?chen und keine der Umrisslinien des dritten Giebelfeldes zu sehen ist. Die H?he des zweiten Giebels ist hier dadurch gefunden, dass, nachdem a c f und die Linie a b gezeichnet waren, von f eine mit a b parallele Wagrechte bis zur senkrechten Mittellinie des ganzen Turmes, d. h. bis o und von hier eine mit a c parallele Linie bis zu der in der Mitte von a b errichteten Senkrechten gezogen wurde, wodurch d als Spize des rechtseitigen Giebels gegeben ist.

Fig. 56.

So k?nnte auch in Fig. 54 statt der oben angewendeten Construction von d eine mit a c parallele Wagrechte nach der senkrechten Mittellinie, durch den so gewonnenen Punkt o eine mit a b parallele Linie und hierauf b e perspectivisch parallel mit a f gezogen werden (vergl. Fig. 56).

Ferner muss, damit a i eine gerade Linie, a d i f eine Fl?che sei, a d und a f = d i und f i sein; a d f und i d f sind in Wirklichkeit 2 einander gleiche Dreiecke, o i muss daher = k o sein. Oder kann zu demselben Zweck die senkrechte Mittellinie eines Giebelfeldes z. B. m f benüzt werden: f p wird = m f gemacht und eine mit a b parallele Linie von p nach der senkrechten Mittellinie des ganzen Turmes gezogen.

§ 59. Soll ein viereckiges Türmchen an beliebiger Stelle auf ein Giebeldach gesezt werden, wie in Fig. 57, so geht die Construction am besten von der mit a b parallelen Linie c d aus, deren L?nge nach Gutdünken bestimmt wird. Man errichtet über c und d 2 Senkrechte, bildet mit denselben ein Rechteck m n o p und zieht aus n durch den Halbierungspunkt von m o eine Linie, welche in f die verl?ngerte o p trifft und damit die Breite der ganzen Seite angibt. Für die perspectivische Breite der anstossenden Seite p g e c sind, wenn sie genau berechnet werden soll, die im folgenden Abschnitt enthaltenen Regeln über die Construction des Quadrats massgebend.

Fig. 57.

In Fig. 58 ist ein ?hnliches Türmchen auf die Mitte eines Giebeldaches gesezt. Ist wie hier die Grundfl?che ein Quadrat, d. h. a b = b c, so ist wie bei Fig. 46 zu verfahren, nachdem von i, der Mitte der Firstlinie, die Linien i a, i b und i c gezogen sind. Ist a b l?nger als b c oder umgekehrt, so schneide man von der Mitte der Firstlinie aus 2 perspectivisch gleich grosse Teile i d und i e entsprechend der gewünschten Gr?sse des oberen Türmchens ab, ziehe von d und e 2 schr?ge Linien parallel mit den Seitenlinien des Dachs abw?rts und verfahre wie bei Fig. 57.

Fig. 58.

In Fig. 59 ist zuerst der Turmaufsaz über a b g h wie oben mittels der Linien d a, d b und d c construiert (vergl. Fig. 55, 56 und 57), die Punkte f und e ergeben sich sodann durch die senkrechten Mittellinien der beiden Seiten des Turmaufsazes.

Fig. 59.

§ 60. Fig. 60 ist zuerst geradlinig wie Fig. 47 construiert, wodurch die für die perspectivische Schweifung der Ecklinien wichtigen Punkte n, m und k gewonnen werden.

Fig. 60.

In Fig. 61 ist zuerst a b c d gezeichnet, sodann (vergl. Fig. 45) die Lage der Punkte k m n bestimmt, von welchen die geschweiften Linien ausgehen, ferner die Lage der 3 Punkte, an welchen sie ihre st?rkste Ausladung haben. Diese Punkte liegen ebenso wie k m n in 2 mit a b und b c parallelen Linien und ergeben sich, je nachdem die Ausladung eine st?rkere oder schw?chere ist, durch Verl?ngerung der senkrechten Ecklinien, wie x y z oder dadurch, dass von andern in gleicher H?he liegenden Punkten der Linien a d, b d, c d, oder ihrer Verl?ngerung, z. B. von e, f und g, 3 Senkrechte und zwischen diesen in entsprechender H?he 2 mit a b und b c parallele Wagrechte wie o h und o i gezogen werden.

Fig. 61.

§ 61. In Fig. 62 ist schliesslich gezeigt, wie auf Grund der bisher angewandten Constructionslinien vorspringende D?cher zu zeichnen sind.

Fig. 62.

Nachdem A als vordere Ecke des Daches angenommen wurde, sind die mit a b, b c, a c und a t6 parallelen Linien A B, B C, A C und A D gezeichnet. C d und e f sind parallel mit A D, m n und o p mit A C. z y ist geometrisch = B b, aber entfernter, muss also entsprechend kleiner sein als B b. Selbstverst?ndlich wird die Mitte der Giebelseiten bezeichnet durch die von b und h abw?rts gezogenen Senkrechten und dürfen hiezu nicht die Punkte B und g benüzt werden.

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