Lehrbuch der Perspective

Gerade Linien.

§ 1. Eine gerade Linie ist senkrecht, wenn sie die durch das Lot oder Senkblei angegebene Richtung hat, wagrecht, wenn ihre beiden Endpunkte (und somit alle Punkte derselben) in gleicher H?he liegen, schr?g, wenn sie nach irgend einer Richtung hin steigt oder f?llt. Dies gilt sowohl von den wirklichen Linien im Raume, als von den Linien einer Zeichnung, wenn wir uns leztere senkrecht stehend denken.

Linien, welche dieselbe Richtung haben, so dass der Abstand zwischen ihnen, soweit man sie verl?ngern mag, überall gleich gross ist, heissen Parallellinien, vgl. A B und C D, E F und G H Fig. 1. Zieht man zwischen 2 parallelen Linien Verbindungslinien, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang, vgl. die Linien a, b, c, d, e, f Fig. 1.

Fig. 1.

Winkel.

§ 2. Linien, welche nicht parallel sind, stehen in einem Winkel zu einander. Treffen sie in einem Punkte zusammen, wie in Fig. 2 b c und c d in c oder a b und b c in b, so heisst dieser Punkt die Spize des Winkels; die beiden den Winkel bildenden Linien heissen seine Schenkel. Wenn man von der Gr?sse eines Winkels spricht, so ist damit der Grad gemeint, in welchem beide Schenkel desselben gegen einander geneigt sind; der Winkel bei c ist z. B. kleiner, als der Winkel bei b; die L?nge der Schenkel kommt hiebei nicht in Betracht.

Fig. 2.

Eine senkrechte und eine wagrechte Linie, oder 2 schr?ge Linien, welche in demselben Grade gegen einander geneigt sind, wie eine senkrechte und eine wagrechte, bilden einen rechten Winkel, vgl. Fig. 2 A B und A C, e f und c d. Werden die Schenkel eines rechten Winkels über die Spize hinaus verl?ngert, so entstehen 4 rechte Winkel (z. B. bei A). Zwei Linien, welche weniger gegen einander geneigt sind, als die Schenkel eines rechten Winkels, bilden einen stumpfen solche, die st?rker gegen einander geneigt sind, einen spizen Winkel. Ein stumpfer Winkel (a b und c b, Fig. 2) ist also gr?sser, ein spizer Winkel (b c und c d) ist kleiner, als ein rechter.

Dreiecke.

Fig. 3.

§ 3. A, B, C, D, E Fig. 3 sind verschiedene Arten von Dreiecken: A, ein gleichseitiges Dreieck, hat 3 gleich lange Seiten, welche in den Ecken 3 gleich grosse spize Winkel bilden; B, C und E sind gleichschenklige Dreiecke, in welchen 2 Seiten gleich lang sind, w?hrend die dritte entweder l?nger oder kürzer ist, als jene beiden; leztere heisst die Grundlinie. D und E sind rechtwinklige Dreiecke, d. h. einer der 3 Winkel ist ein rechter; E ist also ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck: der Winkel bei a ist ein rechter, a b und a c sind gleich lang; die Winkel bei b und c sind halbe rechte Winkel; durch eine Linie von a nach d, der Mitte von b c, entstehen 2 rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke: a d c und a d b.

Vierecke.

§ 4. Fig. 4 ist ein Quadrat, d. h. ein Viereck mit 4 gleich langen Seiten, welche in den Ecken 4 rechte Winkel bilden; in einem Rechteck oder Oblongum (Fig. 5) stossen die Seiten gleichfalls in rechten Winkeln zusammen, aber das eine Seitenpaar ist l?nger, als das andere. Fig. 6 ist eine Raute oder ein Rhombus: die 4 Seiten sind gleich lang und die gegenüberliegenden sind parallel, wie im Quadrat, aber sie bilden in den Ecken nicht rechte, sondern 2 spize und 2 stumpfe Winkel.

Fig. 4.

Fig. 5.

Vierecke, in welchen die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, also Quadrat, Rechteck und Raute, heissen Parallelogramme. Die Linien a c und b d in Fig. 4, 5 und 6, welche die gegenüberliegenden Ecken eines Parallelogrammes verbinden, heissen Diagonalen. Die beiden Diagonalen eines Parallelogramms sind gleich lang, und schneiden sich im Mittelpunkt desselben. Zieht man durch den Punkt e, in welchem sie sich schneiden, Linien, welche mit den Seiten parallel sind, so werden leztere halbiert. Im Quadrat werden die rechten Winkel der Ecken durch die Diagonalen halbiert. Diese stehen zu einander in einem rechten, zu den Seiten des Quadrats in einem halben rechten Winkel. e a b, e b c, e c d und e d a Fig. 4 sind 4 rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke, welche durch die Linien e f, e g, e h und e i wieder in je 2 solche Dreiecke geteilt werden.

Fig. 6.

Fig. 7.

Ein Viereck, in welchem 2 Seiten parallel, die beiden andern nicht parallel sind, heisst Trapez (Fig. 7.)

Der Kreis; Hilfsmittel zum perspectivischen Zeichnen.

§ 5. Der Kreis (Fig. 8) ist eine gebogene Linie, welche überall gleich weit von einem Punkte, ihrem Mittelpunkt, entfernt ist. Durchmesser des Kreises heisst eine gerade Linie, welche von einem beliebigen Punkte der Kreislinie durch den Mittelpunkt hindurch nach dem entgegengesezten Punkt derselben gezogen wird, wie a b; eine gerade Linie vom Mittelpunkt nach einem beliebigen Punkt der Kreislinie, z. B. c a, c b, c d, c e, welche somit die H?lfte eines Durchmessers bildet, heisst Halbmesser oder Radius. Alle Radien eines Kreises sind gleich lang. Concentrische Kreise sind Kreise, welche denselben Mittelpunkt haben.

Fig. 8.

Als Hilfsmittel sind zum perspectivischen Zeichnen erforderlich: ein gr?sseres Reissbrett, ein Zirkel, ein rechter Winkel (Fig. 9) und eine Reissschiene (Fig. 10); durch leztere erh?lt man, indem der kurze Teil an den Rand des Reissbretts angelegt wird, auf bequeme Weise die senkrechten und wagrechten Linien.

Fig. 9.

Fig. 10.

* * *

Unterschied der geometrischen und perspectivischen Form.

§ 6. Einen Gegenstand perspectivisch zeichnen heisst ihn so zeichnen, wie er dem Auge erscheint, wenn wir ihn von einem bestimmten Standpunkte aus betrachten. Dieses scheinbare oder perspectivische Bild der Dinge ist vielfach verschieden von der Form, welche sie in Wirklichkeit haben, d. h. ihrer geometrischen Form; w?hrend leztere unver?ndert bleibt, ?ndert sich die perspectivische Form eines Gegenstands mit jeder Ver?nderung unseres Standpunkts oder mit jeder Ver?nderung in der Stellung des betreffenden Gegenstandes.

Die geometrische Form eines Würfels (cubus) ist z. B. die eines K?rpers, welcher von 6 gleich grossen quadratischen, rechtwinklig aneinanderstossenden Fl?chen begrenzt wird. Die Umrisslinien dieser Fl?chen sind geometrisch gleich lang, ihre geometrische Richtung ist, wenn wir den Würfel auf eine wagrechte Fl?che stellen, teils senkrecht, teils wagrecht, sie stehen geometrisch teils parallel, teils rechtwinklig zu einander. Stellen wir aber mehrere in Wirklichkeit gleich grosse Würfel in verschiedener Stellung und Entfernung vor uns, oder betrachten wir denselben Würfel von verschiedenen Standpunkten aus, so erhalten wir sehr verschiedene Bilder, wie Fig. 11 zeigt: w?hrend einige Linien, wie a b, b c, c d in A, ihre geometrische Richtung und L?nge behalten, erscheint ein Teil der geometrisch wagrechten Linien schr?g, wie c e in A, a b, a g, c d, c e, d f und e f in B, zuweilen auch senkrecht, wie d f in A; geometrisch parallele Linien erscheinen nicht mehr parallel, wie c e und d f in A, von den geometrisch gleich grossen Linien und Fl?chen erscheint bald die eine, bald die andere gr?sser oder kleiner u. s. w. Und w?hrend in Wirklichkeit die Gegenst?nde und ihre einzelnen Teile und Linien nicht nur neben und über einander, sondern auch in den verschiedensten Entfernungen vor und hinter einander liegen, sehen wir sie perspectivisch so, als ob sie in einer senkrechten Fl?che s?mtlich neben und über einander l?gen, weshalb wir denn auch auf der Fl?che des Papiers, der Leinwand u. s. w. das naturgetreue Bild eines Gegenstandes wiedergeben k?nnen. Die deutlichste Anschauung hievon gibt das fotografische Abbild oder das Spiegelbild. Wenn wir einen Gegenstand, ohne unser Auge von der Stelle zu bewegen, so wie wir ihn in einem Spiegel oder durch eine Fensterscheibe sehen, auf der Fl?che des Glases nachzeichnen, so erhalten wir sein genaues perspectivisches Bild.

Fig. 11.

§ 7. Es ist die Erfahrung und übung des Auges, welche bewirkt, dass wir die perspectivische Form, in der wir die Dinge sehen, nicht mit ihrer wirklichen oder geometrischen Form verwechseln, sondern uns auch da, wo die erstere von der lezteren abweicht, eine allerdings nicht immer genaue Vorstellung von der wirklichen Form des betreffenden Gegenstands machen k?nnen; dass wir z. B. bei Betrachtung von mehreren, wie A, B, C, D, E, F, G Fig. 11 sich darstellenden Würfeln uns ihrer verschiedenen Entfernung von unserem Standpunkt, der geometrisch wagrechten und parallelen Richtung der Linien c e, d f u. s. w. in A, der geometrisch gleichen L?nge s?mtlicher Umrisslinien der Würfel bewusst sind.

Ja, diese auf der Erfahrung unseres Auges beruhende Kenntnis der geometrischen Form bildet ein nicht unwesentliches Hindernis für die richtige Auffassung des perspectivischen Bildes.2 Unbewusst halten wir in dem h?ufigen und mannigfachen Wechsel der perspectivischen Erscheinung die Vorstellung der geometrischen Form fest und der ungeübte Zeichner ist deshalb stets geneigt, auch wo das seinem Auge sich darbietende Bild eines Gegenstands von dessen wirklicher Form erheblich abweicht, die leztere an Stelle des ersteren zu sezen, oder wenigstens mehr als richtig ist, der geometrischen Form nahe zu bleiben. Er wird z. B. Fl?chen oder Linien, welche von dem angenommenen Standpunkt aus im Verh?ltnis zu andern kleiner erscheinen, als sie in Wirklichkeit sind, fast immer zu gross, in Fig. 12 z. B. a b statt i g (das linke Bild als das richtige angenommen), geometrisch rechtwinklige Linien, welche perspectivisch einen stumpfen oder spizen Winkel bilden, meist so zeichnen, dass sie wenigstens ann?hernd rechtwinklig zu einander stehen, vgl. c, d, e, f statt m, n, o, p; erscheint eine geometrisch wagrechte Linie perspectivisch schr?g, so wird er sie zu wenig von der wagrechten Richtung abweichen lassen, vgl. a b u. s. w.

Fig. 12.

§ 8. Jede Berechnung einer perspectivischen Form muss zun?chst ausgehen von der geometrischen Form des betreffenden Gegenstands: um zu berechnen, welche Richtung und welche L?nge eine bestimmte Linie unseres Bildes haben soll, müssen wir die wirkliche Richtung und L?nge der betreffenden Linie kennen und nur soweit, als wir diese genau anzugeben verm?gen, ist ein genaues Resultat unserer Berechnung m?glich.

Aber, wie bereits angedeutet, ist unsere Beurteilung der geometrischen Form nicht eine unbedingt sichere und genaue, wenn wir (siehe Vorwort) voraussezen, dass wir ohne Hilfe von Messungen am Gegenstand die wirkliche Form desselben nur auf Grund unserer Anschauung und Erfahrung uns klar zu machen haben.

Auch ein geübtes Auge vermag die geometrische Form der Dinge nur dann mit vollkommener Bestimmtheit und Genauigkeit zu erkennen, wenn dieselbe eine regelm?ssige, durch die Natur des Gegenstands notwendig bedingte und dem Auge aus Erfahrung bekannte, nicht aber, wenn sie unregelm?ssig, zuf?llig und willkürlich ist. Unsere Berechnung wird sich daher nur auf Formen der ersteren Art erstrecken.

Teils aus diesem Grunde, teils weil wir bei Ausführung einer perspectivischen Berechnung auf das Lineal angewiesen sind, haben wir es zun?chst nur mit geraden Linien zu thun. Doch ist damit die Anwendung der perspectivischen Regeln auf Formen, welche nicht geradlinige Umrisse haben, nicht ausgeschlossen, indem wir mittels gerader Linien die Lage einzelner wichtiger Punkte ihres perspectivischen Bildes berechnen k?nnen, von welchen aus das übrige sich leicht aus freier Hand erg?nzen l?sst, wie dies z. B. bei der Darstellung eines von der Seite gesehenen Kreises geschieht, vgl. Fig. 93 und 94.

§ 9. Welche Linienrichtungen und Gr?ssenverh?ltnisse sind nun als regelm?ssig und notwendig, welche als willkürlich anzusehen?

Bei aufmerksamer Betrachtung von Gegenst?nden der verschiedensten Art werden wir finden, dass es meist durch die Natur des betreffenden Gegenstandes bedingt und, auch wenn das perspectivische Bild von der geometrischen Form abweicht, deutlich wahrnehmbar ist, ob eine Linie geometrisch senkrecht, wagrecht, oder schr?g ist, welche Linien geometrisch parallel, welche rechtwinklig zu einander stehen. Dasselbe gilt von den symmetrischen Gr?ssenverh?ltnissen. (Da die Entfernung zweier Punkte von einander nach der L?nge einer zwischen ihnen gezogenen geraden Linie bemessen wird, so bezieht sich das Gesagte auch auf die perspectivischen Entfernungen).

Wo dagegen Linien in einem spizen oder stumpfen Winkel zu einander stehen, ist die geometrische Gr??e dieses Winkels meist zuf?llig und willkürlich. (Eine Ausnahme bilden die Winkel, in welchen die Linien mancher geometrischen Figuren zu einander stehen, z. B. die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks, eines Sechsecks, Achtecks u. s. w. zu einander). Alle Gr?ssenverh?ltnisse, mit Ausnahme der symmetrischen, sind mehr oder weniger willkürlich.

§ 10. Nehmen wir z. B. an, dass das Haus Fig. 13 und das Zimmer Fig. 14 so, wie sie hier gezeichnet sind, in Wirklichkeit vor uns stehen und dass die geometrische Richtung und L?nge der verschiedenen Linien angegeben werden soll.

Fig. 13.

Leicht erkennbar sind überall die senkrechten Linien, da ihre Richtung stets unver?ndert dieselbe ist. Beispiele geometrisch wagrechter Linien sind in beiden Figuren die mit a, b, c, d, e, f, g, h bezeichneten Linien, geometrisch schr?g sind in Fig. 13 i, h, k, m, n, o. Geometrisch parallel sind in Fig. 13 die Wagrechten a a und b, sodann die mit c und die mit e, ferner die mit f bezeichneten Linien und die schr?gen Linien i i, sowie o o. In Fig. 14 sind geometrisch parallel die mit e, sodann die mit f bezeichneten Linien; ebenso a und b, c und d, g und h. Geometrisch rechtwinklig stehen zu einander in beiden Figuren die Linien a und b zu c und d, ferner die Linien e zu f.

Fig. 14.

In Fig. 13 haben die 5 Fenster des ersten Stockwerks in Wirklichkeit gleiche H?he, und Breite, die Entfernungen der Fenster von einander und von den Ecken sind je auf einer Seite geometrisch gleich gross, die Giebellinien i und k sind geometrisch gleich lang, ebenso in Fig. 14 die 4 Tischbeine, die 2 senkrechten Linien der Thüre (zwischen g und h) u. s. w.

Die rasche und sichere Auffassung solcher geometrischen Linienrichtungen und Gr?ssenverh?ltnisse erfordert immerhin einige übung. Dass die geometrisch schr?ge Linie m Fig. 13 (oder die geometrisch wagrechte a b Fig. 29) mit einer Senkrechten verwechselt werde, ist kaum zu befürchten; leichter geschieht es, dass der Anf?nger die geometrisch parallele oder rechtwinklige Stellung von Linien übersieht, welche nicht in Einer Fl?che liegen oder wegen ihrer geringen L?nge wenig in's Auge fallen (z. B. dass die Linie b, Fig. 13 geometrisch parallel ist mit a a). Bei einiger Aufmerksamkeit gew?hnt sich jedoch das Auge bald an eine richtige Unterscheidung der angeführten Linienrichtungen und Gr?ssenverh?ltnisse.

Aber weder unser Auge noch unsere Erfahrung sagen uns genau, wie gross in Wirklichkeit der Winkel ist, in welchem die Linien i und k Fig. 13 zu der darunter liegenden Wagrechten c, oder in Fig. 14 die Linien a und b, c und d oder g und h zu e e stehen, wie breit in Wirklichkeit die linke Seite des Hauses Fig. 13 im Verh?ltnis zur rechten, das Fenster Fig. 14 im Verh?ltnis zur vorderen, dieser zum anstossenden Tischrand ist; denn alle diese Winkelstellungen und Gr?ssenverh?ltnisse ergeben sich nicht aus der Natur des Gegenstandes; sie sind zuf?lliger Art.

§ 11. Da die zuf?lligen und willkürlichen Linienrichtungen, Winkelstellungen und Gr?ssenverh?ltnisse, deren Darstellung wir dem Auge und der übung des Zeichners überlassen, überall h?ufig vorkommen, in der landschaftlichen Natur sogar weit vorherrschen über das Regelm?ssige und Notwendige der Form, so k?nnte es scheinen, als ob die Anwendung und der Nuzen perspectivischer Geseze und Studien sehr beschr?nkt sei. Aber es ist klar, dass die Genauigkeit der Zeichnung eine um so gr?ssere sein muss, die Kenntnis und Anwendung bestimmter Regeln daher um so notwendiger ist, je bekannter und regelm?ssiger die darzustellenden Formen sind, w?hrend unregelm?ssige und willkürliche Formen der Darstellung eine gr?ssere Freiheit gestatten. Hievon abgesehen beruht der Wert perspectivischer Studien nicht allein darin, dass sie uns in Stand sezen, das perspectivische Bild eines Gegenstands mathematisch zu berechnen, sondern wir lernen durch dieselben überhaupt die Eindrücke des Auges mit richtigerem und klarerem Verst?ndnis aufzufassen und infolge dessen auch da, wo keine genauere Berechnung stattfindet, richtiger wiederzugeben.

Der Standpunkt; Sehkreis, Augpunkt, Horizont.

§ 12. N?chst der geometrischen Richtung und L?nge der Linien ist es ihre Stellung zu unserem Auge, oder, was dasselbe ist, unseres Auges zu ihnen, d. h. unser Standpunkt, wovon das perspectivische Bild abh?ngt. Gew?hnlich versteht man unter Standpunkt die Stelle, auf welcher wir stehen oder sizen; im Sinne der genauen perspectivischen Berechnung jedoch verstehen wir darunter den Punkt, wo unser Auge sich befindet. Der Unterschied zwischen rechtem und linkem Auge kommt dabei nicht in Betracht wegen der als notwendig vorausgesetzten Entfernung unseres Standpunkts von dem zu zeichnenden Gegenstand.

Fig. 15.

Da wir nach allen Richtungen gleich viel übersehen, so bildet der Umfang dessen, was wir mit Einem Blick erfassen k?nnen, einen – selbstverst?ndlich nicht bestimmt abgegrenzten – Kreis, unsern Sehkreis, vgl. Fig. 15. Der Mittelpunkt desselben, P, ist der Punkt, welcher dem Auge gerade gegenüber liegt und heisst der Augpunkt. Durch den Augpunkt denke man sich eine wagrechte den Sehkreis in der Mitte durchschneidende und nach beiden Seiten über denselben hinaus beliebig sich fortsezende Linie (H H) gezogen; dies ist der perspectivische Horizont. Die perspectivische Berechnung geht von der Voraussezung aus, dass der Blick des Zeichners bei aufrechter Haltung des Kopfes geradeaus gerichtet sei, so dass beide Augen in einer wagrechten Linie liegen, welche wir unsere Augenlinie nennen. Mit dieser Linie parallel-laufend und in gleicher H?he mit ihr haben wir uns den Horizont zu denken. Eine von unserem Auge nach dem Augpunkt gezogene Linie würde demnach rechtwinklig zu unserer Augenlinie und zum Horizont stehen wie D P zu H H in Fig. 15. Man denke sich die Zeichnung senkrecht stehend und D P als wagrechte rechtwinklig zu H H stehende Linie, vgl. Fig. 16.

Fig. 16.

Im gew?hnlichen Sprachgebrauch bedeutet Horizont die Linie, welche die sichtbaren Gegenst?nde gegen den Himmel abgrenzt, es sei dies eine Berglinie, oder der obere Umriss von Geb?uden u. s. w. Dieser sogenannte scheinbare Horizont ist zugleich unser perspectivischer, wenn wir eine wagrechte, soweit das Auge reicht vor uns ausgedehnte Fl?che überblicken. Eine solche Fl?che erscheint gegen den Himmel begrenzt durch eine wagrechte in gleicher H?he mit unserem Auge liegende Linie, wie uns am deutlichsten die Meeresfl?che zeigt: je tiefer wir stehen, desto schmaler, je h?her wir stehen, desto breiter erscheint uns dieselbe, mit unserem Standpunkt scheint auch die Grenzlinie des Meeres h?her oder tiefer zu rücken,3 vgl. Fig. 17 und 18.

Fig. 17 und 18.

§ 13. Indem wir Augpunkt und Horizont auf unserer Zeichnung angeben (was in s?mtlichen Figuren durch die Buchstaben P und H H geschehen ist), bezeichnen wir damit die H?he und die Richtung, aus welcher wir den betreffenden Gegenstand sehen und zeichnen. In Fig. 15 haben wir uns demnach den Zeichner in der Fortsezung der Linie e f stehend oder sizend zu denken, so dass sein Auge dem Punkte P gerade gegenüber und in gleicher H?he mit diesem und mit der Linie H H sich bef?nde, vgl. Fig. 16.

Um beim Zeichnen nach der Natur Augpunkt und Horizont an der richtigen Stelle anzugeben, muss man zuvor, so gut dies ohne Berechnung m?glich, eine Skizze der Hauptlinien des Bildes nach ihren ungef?hren Verh?ltnissen entworfen haben. H?lt man hierauf einen Bleistift, den Rand des Zeichenblattes oder dgl. wagrecht in gleicher H?he mit dem Auge vor sich, so ist es nicht schwer, die H?he zu ersehen, in welcher der Gegenstand von der Horizontlinie durchschnitten wird und auf derselben die dem Auge gerade gegenüberliegende Stelle zu bestimmen.

Gew?hnlich wird übrigens nicht der ganze Umfang des Sehkreises als Bild verwendet. Wir pflegen vielmehr der Zeichnung die Form eines Rechtecks zu geben, welches in der Regel so abgegrenzt wird, dass Horizont und Augpunkt nicht in der Mitte, aber auch nicht zu nahe am Rande desselben liegen, vgl. Fig. 17 und 18.

Die Distanz.

§ 14. Unter der Entfernung unseres Standpunkts oder der Distanz ist zu verstehen unsere Entfernung von den uns zun?chst liegenden Teilen des zu zeichnenden Gegenstands. H?ufig liegt der n?chste Vordergrund in der wagrechten Fortsezung der Fl?che, auf welcher wir unsern Standpunkt genommen haben und bildet so den untern Rand der Zeichnung, wie in Fig. 13–15. Ziehen wir in solchem Fall eine Linie von unserem Fuss nach dem gerade gegenüber liegenden Punkt der Vordergrundlinie, dem sog. Fusspunkt, so bezeichnet die L?nge dieser Linie (F f Fig. 16) die genaue Gr?sse unserer Distanz.

Denken wir uns, dass anstossend an den Teil unseres Gegenstands, welcher unserem Auge am n?chsten liegt, z. B. in Fig. 15 und 16 auf der Linie a b, eine grosse unser ganzes Bild umfassende Glastafel stehe und dass Augpunkt, Horizont und Fusspunkt in der senkrechten Fl?che dieser Tafel (der sogenannten Bildfl?che) liegen, so w?re eine Linie vom Auge nach dem Augpunkt eben so lang, als eine Linie von unserem Fusse nach dem Fusspunkt (vgl. D P und F f Fig. 16) und k?nnte ebenso als Mass der Distanz gebraucht werden. In diesem Sinne ist es zu verstehen, wenn gesagt wird, die Distanz bedeute die Entfernung unseres Auges vom Augpunkt, und so oft von dieser die Rede ist, muss man sich das zu zeichnende Bild in der angeführten Weise als eine senkrechte Fl?che vorstellen, wie wir es im Spiegelbilde sehen.

§ 15. Die Entfernung des Standpunkts muss wenigstens so gross sein, dass der Zeichner gerade aus in der Richtung des Augpunkts blickend und ohne das Auge nach der Seite, nach oben oder unten zu wenden, alles, was er in sein Bild aufnehmen will, deutlich übersehen kann.

Denn da bei jeder Ver?nderung des Standpunkts das perspectivische Bild des Gegenstands ein anderes wird, so ist die erste Bedingung einer perspectivisch richtigen Zeichnung, dass das Ganze von ein und demselben Standpunkt aus, d. h. aus derselben H?he, Richtung und Entfernung gezeichnet, die einmal angenommene Lage von Horizont und Augpunkt, sowie die Gr?sse der Distanz unver?ndert beibehalten werde. Sobald wir aber die Richtung unseres Blickes ver?ndern, so ?ndert sich die Lage unseres Augpunkts und somit unser Standpunkt.

Die Gr?sse der Distanz muss demgem?ss in einem gewissen Verh?ltnis zum Umfang des zu zeichnenden Gegenstandes stehen: je gr?sser derselbe sein soll, desto gr?sser muss auch die Distanz sein.

§ 16. Man nimmt an, dass das Auge eine ihm senkrecht gegenüberstehende kreisrunde oder quadratische Fl?che vollst?ndig in der angeführten Weise übersehen kann, wenn seine Entfernung vom Mittelpunkt dieser Fl?che wenigstens so gross ist, als ein Durchmesser oder eine Diagonale derselben. Dabei ist vorausgesezt, dass sich das Auge dem Mittelpunkt der Fl?che gegenüber befinde.

Wenn wir uns z. B. das Quadrat a b c d Fig. 15 als eine senkrecht vor uns stehende Glastafel denken, deren Mittelpunkt unser Augpunkt und deren Diagonale (a c oder b d) 4? Meter lang w?re, so müsste unser Auge von dem Mittelpunkt dieser Tafel wenigstens 4? Meter entfernt sein, um ohne Ver?nderung des Standpunkts den ganzen Umfang derselben übersehen zu k?nnen. Oder wenn in Fig. 16 P Augpunkt des in F stehenden Beschauers und a b c d eine quadratische Glastafel ist, so müssen die Linien D P und F f wenigstens so lang sein wie a c und b d, damit das Auge von D aus die ganze Tafel und alles, was durch dieselbe sichtbar ist, übersehen kann.

Befindet sich das Auge nicht dem Mittelpunkt der Bildfl?che gegenüber, so ist die Diagonale derselben noch kein hinreichendes Mass der Distanz. Wenn wir z. B. dem Bilde a b c d Fig. 15 so gegenüberstehen, dass m unser Augpunkt ist, so muss, um den von dem Viereck a b c d umschlossenen Raum übersehen zu k?nnen, die Distanz wenigstens doppelt so gross sein, als eine Linie von m nach b oder nach c, d. h. eben so gross als für ein Rechteck g b c k erforderlich w?re, dessen Mittelpunkt m ist oder für einen von m aus durch c und b beschriebenen Kreis.

Dagegen kann die Distanz nach Belieben gr?sser angenommen werden.

§ 17. Natürlich ist das Gesagte nicht so aufzufassen, als ob innerhalb eines bestimmten Umkreises alle Gegenst?nde gleich deutlich, jenseits desselben undeutlich oder gar nicht mehr sichtbar w?ren, vielmehr nimmt die Deutlichkeit derselben allm?lig ab, je weiter sie sich vom Augpunkt entfernen. Es ist aber für die perspectivische Berechnung notwendig, eine Grenzlinie festzusezen, innerhalb deren eine hinreichende Deutlichkeit des Bildes anzunehmen ist. Dieses Mass der kleinsten Distanz ist in den perspectivischen Lehrbüchern verschieden angegeben, wie auch der Umfang dessen, was mit Einem Blick zu übersehen ist, nicht für jedes Auge gleich gross ist. Jedoch kann ohne Gefahr für eine perspectivisch richtige Wirkung nicht wohl ein niedrigeres Mass angenommen werden, als oben geschehen ist.

Ist es dem Zeichner durch die Raumverh?ltnisse unm?glich gemacht, seinen Standpunkt in hinreichender Entfernung zu nehmen, so muss mittels perspectivischer Berechnung das Ganze so gezeichnet werden, wie es sich, in richtiger Entfernung gesehen, dem Auge darstellen würde.4

§ 18. Die Gr?sse der für eine Zeichnung angenommenen Distanz wird ausgedrückt durch die Distanzpunkte. Ein Distanzpunkt ist ein senkrecht über oder unter dem Augpunkt oder seitw?rts von diesem in der Horizontlinie angegebener Punkt, dessen Entfernung vom Augpunkt (im Verh?ltnis der Zeichnung) der Entfernung unseres Auges vom Augpunkt oder unseres Fusses vom Fusspunkt entspricht. Ist z. B. in Fig. 15 die Linie a b 3 Meter lang und ist die vom Zeichner für das Bild a b c d angenommene Distanz eine solche, dass sein Fuss von f, sein Auge von dem (senkrecht über f gedachten) Augpunkt P 4? Meter entfernt sich befindet, so sind D und Dg Distanzpunkte, indem eine Linie von einem dieser 2 Punkte bis P 1? mal so gross ist, als a b.

Zur Unterscheidung werden wir die seitw?rts vom Augpunkt liegenden Distanzpunkte Diagonalpunkte nennen (Dg und Dp). Von den beiden andern ist stets der unterhalb des Augpunkts liegende verwendet und als Distanzpunkt (D) bezeichnet.

Aus § 16 folgt, dass ein Distanzpunkt oder Diagonalpunkt nie innerhalb der Zeichnung liegen kann, da seine Entfernung vom Augpunkt wenigstens so gross sein muss, als eine Diagonale derselben, wenn der Augpunkt in der Mitte des Bildes liegt, oder, wenn dies nicht der Fall ist, doppelt so gross als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte der Zeichnung.

§ 19. Ein genaues Abmessen der Distanz ist natürlich in den meisten F?llen nicht ausführbar und ist auch behufs Angabe der Distanzpunkte nicht notwendig. Die Hauptsache ist, dass eine zu kleine Distanz vermieden wird. Um sich beim Zeichnen nach der Natur zu versichern, dass die angenommene Entfernung des Standpunkts eine für den beabsichtigten Umfang des Bildes hinreichende sei, kann man sich eines aus starker Pappe gefertigten Rahmens bedienen, dessen innerer Rand ein Rechteck von 48 : 36 Centimeter bildet. Die Diagonale eines Rechtecks von dieser Gr?sse entspricht ungef?hr der durchschnittlichen L?nge des Arms; die Distanz ist also hinreichend gross, wenn der Rahmen, auf Armesl?nge vor das Auge gehalten, w?hrend der Blick auf den Augpunkt gerichtet ist, den ganzen Gegenstand, welcher gezeichnet werden soll, umschliesst, vgl. Fig. 16. Hiebei wird man sich leicht überzeugen, dass der Umfang des innerhalb des Rahmens sichtbaren Bildes kleiner oder gr?sser wird, je nachdem man, denselben vor sich haltend, dem Gegenstande n?her tritt oder sich von demselben entfernt.

§ 20. Wenn von der Entfernung einzelner Teile des Bildes von unserem Standpunkt die Rede ist, so kommt dabei nicht in Betracht, ob dieselben mehr in der Mitte oder nach dem Rande desselben liegen, da dies bei richtiger Gr?sse der Distanz keinen für die perspectivische Berechnung wesentlichen Unterschied macht, sondern es ist damit nur die Entfernung in der Richtung vom Vordergrund nach dem Hintergrund zu gemeint. Um die Entfernung eines Punktes oder einer Linie vom Auge in diesem Sinne zu bezeichnen, gebraucht man h?ufig den Ausdruck ?Tiefe?. Man kann z. B. sagen: a und b Fig. 15 liegen in gleicher Tiefe, a und e in verschiedener Tiefe.

Das Grundgesez der perspectivischen Formerscheinung. Unverkürzte und verkürzte Stellung der Fl?chen und Linien.

§ 21. Das wichtigste und am meisten in die Augen fallende Gesez der Perspective ist, dass alle Gegenst?nde kleiner zu werden scheinen, je weiter sie sich von unserem Standpunkt entfernen. Alle perspectivischen Formver?nderungen lassen sich auf dieses Gesez zurückführen, dessen Begründung wir im Bau unseres Auges und der hiedurch bedingten Art, wie sich in demselben die Gegenst?nde spiegeln, zu suchen haben.

Fig. 19.

Aus jenem Gesez folgt zun?chst, dass nur eine Fl?che, welche ganz gerade vor uns steht, d. h. senkrecht und parallel mit unserer Augenlinie, wie die Fl?che A Fig. 19, dem Auge genau so erscheinen kann, wie sie in Wirklichkeit ist, mit andern Worten so, dass die perspectivische Richtung und das perspectivische Gr?ssenverh?ltnis ihrer Umrisse und aller in ihr liegenden Linien mit deren geometrischer Richtung und L?nge übereinstimmt. Denn in diesem Fall befinden sich s?mtliche Teile der Fl?che in gleicher Entfernung vom Auge (in gleicher Tiefe). Sobald wir die Tafel A, w?hrend unser Standpunkt derselbe bleibt, nach irgend einer Seite wenden, so liegen einzelne Teile derselben in ungleicher Tiefe; die ferneren Teile erscheinen infolge dessen verh?ltnism?ssig kleiner, als die n?heren und die perspectivische Form der ganzen Tafel wird hiedurch eine von ihrer geometrischen Form verschiedene. In B ist z. B. die Linie b c ferner als a d, jene erscheint daher kürzer als diese, folglich k?nnen die geometrisch parallelen Linien a b und d c nicht mehr parallel und sie k?nnen nicht mehr beide rechtwinklig zu a d und b c erscheinen. Wird die Tafel B in mehrere gleich grosse senkrechte Streifen geteilt, so erscheinen diese nach der Linie b c hin allm?lig kleiner zu werden, die ganze Fl?che erscheint daher schmaler als bei der Stellung A, vgl. Fig. 11.

§ 22. Wenn eine Fl?che oder Linie eine solche Stellung zum Auge hat (unser Standpunkt zu ihr ein solcher ist), dass s?mtliche Teile derselben in gleicher Tiefe liegen, wie in Fig. 19 A und die an A befindlichen Linien, so nennt man dies die unverkürzte Stellung; eine Fl?che oder Linie ist dagegen verkürzt, wenn einzelne Teile derselben dem Auge n?her, andere ferner liegen. Unverkürzt sind also in Fig. 19 die Fl?chen A und G, s?mtliche senkrechte Linien, die wagrechten Linien a b und c d in A und D, a e in G, die schr?gen Linien a c und b d in A, a d und b c in E. Alle übrigen Fl?chen und Linien sind verkürzt. (Man bemerke, dass zwar die schr?ge Fl?che E verkürzt ist, da b c ferner liegt als a d, die schr?gen Linien a d und b c aber in E unverkürzt sind, indem ihre beiden Endpunkte in gleicher Tiefe liegen).

Die senkrechten Linien haben immer unverkürzte Stellung, da ihre beiden Endpunkte immer in gleicher Tiefe liegen. Eine senkrechte Fl?che dagegen kann sowohl verkürzt sein wie B, als unverkürzt wie A.

Die unverkürzten wagrechten Linien eines Bildes sind parallel mit unserer Augenlinie und mit dem Horizont, folglich auch parallel unter sich. Wagrechte und schr?ge Fl?chen sind stets verkürzt.

§ 23. Für Anf?nger ist es zweckm?ssig, einen Bleistift, ein Lineal oder dergl. in der für die Zeichnung angenommenen Richtung der Augenlinie und des Horizonts vor sich zu legen, um mit dieser Normallinie die verschiedenen wagrechten Linien des Gegenstands vergleichen und leichter unterscheiden zu k?nnen, ob sie unverkürzt oder verkürzt sind.

Sollte man in Betreff einer schr?gen Linie im Zweifel sein, ob sie unverkürzt oder verkürzt ist, so denke man sich dieselbe mit einer senkrechten und einer wagrechten Linie zu einem Dreieck verbunden, wie in G die schr?ge Linie a d mit a e und e d oder in F die Linie b c mit b e und e c. Man nennt dies das Massdreieck einer schr?gen Linie. Ist die wagrechte Linie dieses Dreiecks unverkürzt, wie a e in G, so ist es auch die schr?ge; ist erstere verkürzt, wie b e in F, so ist auch die schr?ge Linie verkürzt.

§ 24. Unverkürzte Linien, welche in gleicher Tiefe (in Einer unverkürzten senkrechten Fl?che) liegen, wie s?mtliche Linien der Fl?che A Fig. 19, behalten ihre geometrische Richtung und ihr geometrisches Gr?ssenverh?ltnis; sie erscheinen und werden gezeichnet wie sie in Wirklichkeit sind; unverkürzte Linien in ungleicher Tiefe, wie a d und b c in B, b c und a d in E, behalten ihre geometrische Richtung, nicht aber ihr geometrisches Gr?ssenverh?ltnis (indem die ferneren kleiner erscheinen); die perspectivische L?nge der verkürzten Linien ist immer, ihre perspectivische Richtung in den meisten F?llen verschieden von ihrer geometrischen Richtung und L?nge.

Wo die geometrische Richtung oder L?nge einer Linie unver?ndert bleibt, muss dieselbe entweder nach dem Augenmass oder mit Hilfe von Lineal und Zirkel bestimmt werden. Wir bedürfen für solche F?lle keiner perspectivischen Regel und Berechnung.

* * *

Verkürzte Parallellinien.

§ 25. Wenn 2 parallele Linien durch eine Anzahl von Linien verbunden werden, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind nach § 1, Fig. 1 diese Verbindungslinien gleich lang. Haben wir nun parallele Linien in verkürzter Stellung vor uns, wie die Eisenbahnschienen in Fig. 20, so befinden sich die Verbindungslinien, hier die Schwellen, in verschiedener Entfernung vom Auge, sie scheinen daher nach der Ferne hin immer kleiner zu werden, d. h. der Abstand zwischen den beiden verkürzten Parallellinien scheint sich zu verkleinern, sie scheinen n?her zusammenzurücken je weiter sie sich von unserem Auge entfernen und wenn sie sich auf sehr weite Entfernung fortsezen, so müssen sie schliesslich in Einem Punkte, wie hier in dem Punkte P, zusammentreffen, in welchem sie aufh?ren sichtbar zu sein.

Fig. 20.

Man nennt diesen Punkt den Fluchtpunkt oder Verschwindungspunkt der betreffenden Linien.

§ 26. In demselben Punkte, in welchem 2 verkürzte Parallellinien zusammentreffen, müssen auch alle weiteren mit ihnen parallelen Linien, wie in Fig. 20 die Linien a P, b P, c P, sich treffen, da der Zwischenraum zwischen allen in demselben Verh?ltnis nach der Ferne hin kleiner wird. Wenn a b, b c und c d gleich lang, a e und d f je halb so lang sind als a b, so müssen g h, h i und i k, m g und k n in demselben Verh?ltnis zu einander stehen, sie werden also zugleich aufh?ren, sichtbar zu sein.

Wenn wir solche Linien auch nicht mit dem Auge verfolgen k?nnen bis zu dem Punkte, in welchem sie zusammentreffen würden, sondern sie nur in kürzerer Ausdehnung vor uns haben, wie die geometrisch parallelen Linien a a und b b in Fig. 21, so müssen sie stets so gezeichnet sein, dass der Zwischenraum zwischen ihnen nach der Ferne hin kleiner wird, so dass sie, von ihrem ferner liegenden Ende aus fortgesezt, irgendwo in Einem Punkte zusammentreffen würden, d. h. verkürzte Parallellinien müssen die Richtung nach einem gemeinschaftlichen Fluchtpunkt haben.

Fig. 21.

Man vergleiche ausser Fig. 20 und 21 die wagrechten Parallellinien a a, c c, f f in Fig. 13 und 14, s?mtliche wagrechte Linien in Fig. 22, die schr?gen Parallellinien n n in Fig. 21, a c und e d, a g und e h in Fig. 36, a, b, c und d Fig. 37 und andere.

Fig. 22.

§ 27. Sobald wir also 2 verkürzte Parallellinien dieser Regel entsprechend gezeichnet haben, so ist damit auch die perspectivische Richtung aller weiteren mit ihnen parallelen Linien gegeben: man verl?ngert die zuerst gezeichneten bis zu dem Punkte, in welchem sie zusammentreffen und zieht nach diesem die übrigen.

Wie zu verfahren ist, wenn ein Fluchtpunkt ausserhalb der Zeichnung liegt, wie die Fluchtpunkte der Linien a a, b b, n n in Fig. 21, wird sp?ter gezeigt werden. H?ufig kann jedoch die genaue Berechnung in solchen F?llen dadurch ersezt werden, dass man einen Papierstreifen an das Zeichenblatt anlegt, um die betreffenden Linien bis zu ihrem Fluchtpunkt verl?ngern zu k?nnen, oder dass man wie in Fig. 21 und 22 sie wenigstens so weit als der Raum gestattet, fortsezt, da sich, je l?nger sie sind, desto deutlicher beurteilen l?sst, ob sie die erforderliche Richtung nach Einem Punkte hin haben.

Verkürzte wagrechte Linien.

§ 28. Wenn wir am Ende eines Zimmers stehend Decke und Fussboden desselben betrachten, so scheint die erstere nach dem jenseitigen Ende des Zimmers hin zu fallen, der Boden scheint nach dorthin anzusteigen; ebenso scheinen alle wagrechten Fl?chen, welche h?her liegen als unser Auge, nach der Ferne hin zu fallen, tiefer liegende scheinen zu steigen. Halten wir aber eine Fl?che, z. B. ein dünnes Brett, ein Stück Pappe oder dergl. wagrecht in gleicher H?he mit unserem Auge vor uns, so sehen wir weder die untere noch die obere Seite dieser Fl?che, wir sehen sie nur als eine wagrechte Linie, welche, da der Horizont gleichfalls eine in der H?he des Auges liegende wagrechte Linie ist, mit diesem zusammenf?llt, vgl. Fig. 22. Alle wagrechten Fl?chen scheinen sich also nach dem Horizont hin zu neigen.

Denn alle wagrechten Fl?chen sind parallel und sind verkürzt. Daher scheint der Zwischenraum zwischen 2 wagrechten Fl?chen, z. B. zwischen Decke und Fussboden, nach der Ferne hin immer kleiner zu werden, sie scheinen einander n?her zu rücken, ebenso wie verkürzte parallele Linien. Wie diese nach Einem Punkte, so scheinen alle wagrechten Fl?chen nach Einer Linie hinzustreben und diese Linie kann nach dem Gesagten nur der Horizont sein: der Horizont ist die gemeinschaftliche Fluchtlinie oder Verschwindungslinie aller wagrechten Fl?chen.

§ 29. Mit den wagrechten Fl?chen scheinen auch die in ihnen liegenden verkürzten Linien5 zu steigen oder zu fallen; jede wagrechte Linie kann als Teil einer wagrechten Fl?che gedacht werden; folglich müssen verkürzte wagrechte Linien, wenn sie tiefer liegen als unser Auge, d. h. unterhalb des Horizonts, von ihrem n?heren nach ihrem entfernteren Endpunkte zu steigen; wenn sie h?her liegen als unser Auge, d. h. über dem Horizont, so müssen sie nach der Ferne hin fallen; wagrechte Linien aber, welche mit dem Auge in gleicher H?he liegen, bleiben wagrecht, auch wenn sie verkürzt sind. Mit andern Worten: die Fluchtpunkte aller verkürzten wagrechten Linien liegen im Horizont; jede muss so gezeichnet sein, dass sie, von ihrem entfernteren Ende aus verl?ngert, in irgend einem Punkte den Horizont trifft und dieser Punkt ist zugleich der Fluchtpunkt aller mit ihr parallelen Linien; vgl. Fig. 20, 21, 22.

Haben wir also wagrechte Parallellinien in verkürzter Stellung zu zeichnen, so ist, sobald die perspectivische Richtung für eine derselben bestimmt ist, auch die Richtung der übrigen gegeben: man verl?ngert die erstere bis zum Horizont und nach dem Punkte, in welchem sie ihn trifft, werden die andern gezogen.

§ 30. Die Lage dieser Fluchtpunkte kann nun, wie schon die bisherigen Beispiele zeigen, eine sehr verschiedene sein. Es entsteht also die Frage, an welcher Stelle des Horizonts in diesem oder jenem Falle der Fluchtpunkt einer wagrechten Linie liegen muss, d. h. in welchem Grade die verschiedenen wagrechten Linien nach dem Horizont hin fallen oder steigen müssen.

Die allgemeine Regel in dieser Beziehung ist, dass der Fluchtpunkt einer verkürzten wagrechten Linie da liegt, wo eine parallel mit ihr vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde. Denn verkürzte Parallellinien haben denselben Fluchtpunkt.

Fig. 23.

Z. B.: a, b, c, d, e Fig. 23 sind verkürzte wagrechte Linien, welche zu der unverkürzten Wagrechten A B verschiedene Winkel bilden. Der Horizont ist parallel mit den unverkürzten wagrechten Linien unseres Gegenstandes (§ 22), der Winkel also, in welchem eine verkürzte wagrechte Linie in Wirklichkeit zu einer unverkürzten Wagrechten steht, ist derselbe, in welchem sie auch zum Horizont steht. Die geometrische Stellung der Linien a, b, c, d, e zu A B Fig. 23 ist in Fig. 24 angegeben. Dies ist auch ihre Winkelstellung zum Horizont. Denken wir uns nun, dass die 5 St?be in Wirklichkeit so wie sie hier gezeichnet sind vor uns liegen und dass parallel mit denselben 5 Linien von unserem Auge nach dem Horizont gezogen seien, so müssten die Punkte, in welchen die von unserem Auge ausgehenden Linien den Horizont treffen, die Fluchtpunkte der 5 St?be sein. Wenn man sich hievon eine deutliche Vorstellung macht, etwa indem man einen langen Stab parallel mit einer verkürzten Linie des zu zeichnenden Gegenstands vor's Auge h?lt, so wird man die Lage ihres Fluchtpunkts ann?hernd bestimmen k?nnen; man wird z. B. verstehen, dass der Fluchtpunkt von e sehr weit nach rechts, der Fluchtpunkt von d n?her nach dem Augpunkt hin liegen muss u. s. w.

Fig. 24.

§ 31. Die Stellung einer Linie zum Horizont ist jedoch immer eine willkürliche, da die Richtung des lezteren von der zuf?lligen Wahl unseres Standpunkts abh?ngt. Wenn wir die Lage des Fluchtpunkts einer wagrechten Linie genauer berechnen, so geschieht dies nicht, damit ihre Stellung zum Horizont, sondern damit ihre Stellung zu andern Linien des Bildes eine richtige Wirkung mache. Nur wo es sich um eine bestimmte und notwendige Winkelstellung wagrechter Linien zu einander handelt, bedürfen wir einer genaueren Regel in Betreff der Lage ihrer Fluchtpunkte und k?nnen wir eine solche anwenden.

Nehmen wir z. B. in Fig. 23 als Fluchtpunkt der Linie d den Punkt y statt x an, so scheint der Winkel, in welchem d zu e steht, gr?sser, ihr Winkel zu c kleiner zu sein, als wenn x Fluchtpunkt ist. Aber die Winkelstellung dieser Linien zu einander und zu den übrigen Linien des Gegenstands ist ebenso willkürlich und zuf?llig, wie ihre Stellung zum Horizont. Mit blossem Auge würde der Beschauer auch nicht mit Bestimmtheit zu erkennen verm?gen, dass ihre geometrische Stellung zu A B und zum Horizont oder ihre Stellung zu einander genau die in Fig. 24 angegebene ist. Also k?nnen wir auch die perspectivische Stellung dieser Linien zum Horizont und zu einander nicht genau berechnen und ist es für die perspectivische Richtigkeit der Zeichnung ohne Belang, ob beispielsweise y oder x als Fluchtpunkt der Linie d angenommen wird.

Ebenso ist in Fig. 14 die Winkelstellung der verkürzten wagrechten Linien g und h, sowie der Linien a, b, c, d zu den übrigen Linien des Bildes eine willkürliche. Notwendig ist nur, dass g und h, a und b, c und d als parallele Linien erscheinen und dass die Linien a, b, c, d ein Rechteck darstellen. Wir überlassen es deshalb dem Auge des Zeichners, zuerst die Richtung für eine der Linien g oder h und für eine Seite des genannten Rechtecks zu bestimmen, natürlich mit Rücksicht darauf, dass die Fluchtpunkte dieser Linien im Horizont liegen müssen, da sie geometrisch wagrecht sind. Aber angenommen, dass g und a die zuerst gezeichneten Linien seien, so ist damit nicht nur die perspectivische Richtung der mit jenen parallelen Linien h und b, sondern auch der rechtwinklig zu a stehenden Linien c und d gegeben. Für die Lage des Fluchtpunkts der 2 lezteren sind ebenso wie für die Richtung der verkürzten Parallellinien bestimmte Regeln massgebend.

Unsere n?chste Aufgabe soll demgem?ss die Beantwortung der Frage sein, welche Stellung in unserer Zeichnung wagrechte Linien zu einander haben müssen, welche in Wirklichkeit rechtwinklig zu einander stehen, wie a und d oder e und f in Fig. 14, mit andern Worten, nach welcher Regel der Fluchtpunkt einer verkürzten wagrechten Linie zu bestimmen ist, welche zu einer gegebenen Wagrechten geometrisch rechtwinklig steht.

Rechtwinklige wagrechte Linien.

§ 32. Man unterscheidet die gerade Ansicht eines rechten Winkels, Rechtecks oder Quadrats, d. i. wenn nur eine der beiden Linien, welche einen rechten Winkel bilden, verkürzt, die andere aber unverkürzt ist, wie A B und B C oder A D und D C in Fig. 25 und die schr?ge Ansicht, d. i. wenn beide Schenkel des Winkels verkürzt sind, wie a b und b c oder a d und d c. Der Ausdruck ?schr?g? bezieht sich also in diesem Zusammenhang auf die Stellung wagrechter Linien zum Auge oder zum Horizont.

Fig. 25.

In § 12 Fig. 15 und 16 wurde gezeigt, dass eine vom Auge nach dem Augpunkt gezogene Linie einen rechten Winkel zum Horizont bilden würde, d. h. mit andern Worten: wenn wir uns eine Linie von unserem Auge nach dem Horizont gezogen denken, so dass sie rechtwinklig zu diesem steht, so trifft sie den Augpunkt, der Augpunkt ist ihr Fluchtpunkt.

Steht nun eine verkürzte wagrechte Linie geometrisch rechtwinklig zu einer unverkürzten Wagrechten, wie in Fig. 25 A D oder B C zu C D, so steht sie auch zum Horizont in einem rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer von unserem Auge nach dem Augpunkt gehenden Linie und muss mit dieser denselben Fluchtpunkt haben.

Also ist der Augpunkt der Fluchtpunkt aller verkürzten wagrechten Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten (zum Horizont) geometrisch rechtwinklig stehen oder welche, wie man h?ufig sagt, sich in gerader Linie von uns entfernen. Vgl. in Fig. 14 die Linien f, f, in Fig. 20 a P, b P, c P u. s. w.

§ 33. Sind beide Linien, welche den rechten Winkel bilden, verkürzt, wie in dem Rechteck a b c d Fig. 25, so ist die Frage, wie gross die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander, d. h. das Stück des Horizonts, welches zwischen beiden liegt, sein muss. Denn je nachdem der Winkel, in welchem 2 verkürzte Linien zu einander stehen, gr?sser oder kleiner ist, wird auch die Entfernung ihrer beiden Fluchtpunkte eine gr?ssere oder kleinere sein und umgekehrt, wie aus § 31 Fig. 23 zu ersehen ist.

Fig. 26.

Ausser der geometrischen Gr?sse des betreffenden Winkels ist jedoch auch die Gr?sse der Distanz von Einfluss auf den Abstand der Fluchtpunkte seiner beiden Schenkel. Eine vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie, welche zu diesem rechtwinklig steht, trifft immer den Augpunkt und so kann auch die verkürzte Seite eines rechten Winkels in gerader Ansicht nur im Augpunkt ihren Fluchtpunkt haben, gleichviel, ob unsere Distanz gr?sser oder kleiner ist. Steht aber eine verkürzte Wagrechte in einem beliebigen andern Winkel zum Horizont oder zu einer unverkürzten Wagrechten, so liegt der Punkt, in welchem eine parallel mit ihr d. h. in demselben Winkel vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde, n?her am Augpunkt oder entfernter von ihm, je nachdem die Entfernung des Auges vom Augpunkt gr?sser oder kleiner ist. Dieselbe Linie, welche in Fig. 26 von a aus gezogen die Linie m n in z trifft, trifft sie von b aus in p, von c aus in n u. s. w. Und wenn wir 2 verkürzte wagrechte Linien vor uns haben, welche in Wirklichkeit rechtwinklig (oder in einem beliebigen Winkel) zu einander stehen, so werden die 2 Punkte, in welchen 2 parallel mit ihnen vom Auge ausgehende Linien den Horizont treffen, desto n?her beisammen liegen, je kleiner die Distanz ist und desto weiter von einander entfernt sein, je gr?sser dieselbe ist, wie Fig. 26 deutlich zeigt: o p ist gr?sser als y z, m n gr?sser als o p.

Fig. 27.

Demnach kann der Abstand der beiden Fluchtpunkte eines rechten Winkels in schr?ger Ansicht ein sehr verschiedener sein. So zeigt Fig. 27 zwei verschiedene Ansichten eines Rechtecks, welche es in derselben Stellung, aus derselben H?he und Richtung, aber aus verschiedener Entfernung gezeichnet darstellen. Mit zunehmender Distanz erscheint nicht nur das Ganze kleiner, sondern auch die Form der rechten Winkel wird eine verschiedene: da mit der Distanz die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander zunimmt, so erscheinen die Seitenwinkel bei b und d in B spizer, der Winkel bei a und c erscheint stumpfer als in A.

Natürlich ist die Wirkung dieselbe, wenn wir, statt die Entfernung unseres Standpunkts zu ver?ndern, den betreffenden Gegenstand n?her oder ferner rücken, vgl. Fig. 29.

Es muss daher die genaue Gr?sse der für eine Zeichnung angenommenen Distanz mittels eines Distanzpunkts angegeben und dieser zu Hilfe genommen werden, wenn der Abstand jener 2 Fluchtpunkte von einander genau berechnet werden soll. Wie lezteres geschehen kann, ist in § 81–85 gezeigt. Da jedoch die Gr?sse der vom Zeichner angenommenen Distanz mit blossem Auge aus den Linien einer Zeichnung nicht zu ersehen ist, so kann gew?hnlich diese genauere Berechnung entbehrt und durch Beobachtung der nachfolgenden Regel ersezt werden.

§ 34. überall, wo die Gr?sse der Distanz von wesentlichem Einfluss ist auf die perspectivische Form, kommt es haupts?chlich darauf an, die falsche Wirkung zu vermeiden, welche aus einer zu klein angenommenen Distanz entsteht. Bei Darstellung eines rechten Winkels in schr?ger Ansicht entsteht diese falsche Wirkung, wenn die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander zu klein ist.

Fig. 28.

Betrachten wir in Fig. 28 D als unser Auge, P als Augpunkt, so bezeichnet die Linie D P die Gr?sse der Distanz. Ziehen wir nun (mit Hilfe des Winkels Fig. 9) von D aus in verschiedener Richtung je 2 rechtwinklig zu einander stehende Linien nach der durch P gehenden Wagrechten d. h. nach dem Horizont, z. B. D c und D d, D a und D b, D Dg und D Dp, so ergibt sich, dass die 2 Punkte, in welchen die verschiedenen Linienpaare den Horizont treffen, dann den geringsten Abstand von einander haben, wenn sich die beiden Linien in der Stellung zum Horizont befinden, welche D Dg und D Dp zeigen. Diese stehen zum Horizont, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, wie m n und m o zu o n, d. h. beide stehen in einem halben rechten Winkel zum Horizont. Dg und Dp sind Diagonalpunkte: ihre Entfernung vom Augpunkt ist gleich der Distanz und ihre Entfernung von einander doppelt so gross als die Distanz, Dg–Dp ist gleich 2 mal Dp.

Bei jeder andern Stellung der beiden Linien zum Horizont ist der Abstand jener beiden Punkte ein gr?sserer und er wird immer gr?sser, je ungleicher die Stellung der beiden Linien zum Horizont ist: c d ist gr?sser als Dp–Dg, a b gr?sser als c d u. s. w.

§ 35. Hieraus folgt, dass die 2 Fluchtpunkte eines rechten Winkels in schr?ger Ansicht wenigstens so weit von einander entfernt sein müssen, dass der zwischen ihnen liegende Teil des Horizonts doppelt so gross ist, als die Distanz. Diese muss nach § 18 wenigstens doppelt so gross sein, als eine Diagonale des Bildes, oder als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte, also muss, wenn beide Schenkel eines aus 2 wagrechten Linien bestehenden rechten Winkels verkürzt sind, die Entfernung ihrer Fluchtpunkte von einander wenigstens 4 mal so gross sein, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte der Zeichnung. Z. B. in Fig. 31 müssen, wenn A B und A C geometrisch rechtwinklige Linien sind, P Augpunkt und f die von P entfernteste Ecke des Bildes ist, die Fluchtpunkte der beiden genannten Linien einen Abstand von einander haben, der wenigstens = 4 mal P f ist.

Kommen in demselben Bilde verschiedene rechte Winkel in schr?ger Stellung vor, so müssen sie selbstverst?ndlich in übereinstimmender Weise behandelt, d. h. es muss überall dieselbe Distanz zu Grunde gelegt werden.

Die falsche Wirkung, welche entsteht, wenn gegen jene Regel gefehlt wird, zeigt Fig. 29. Die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander ist = 4 mal P f; daher wirken alle rechten Winkel, welche innerhalb der Kreislinie f f liegen, perspectivisch richtig, aber die Winkel bei m, n und o k?nnen nicht mehr als rechte Winkel gelten.

Fig. 29.

Andererseits zeigt Fig. 25, dass dem Zeichner innerhalb der angegebenen Grenze einige Freiheit gestattet ist: a b e f wird auch dem geübtesten Auge ebenso als richtiges Bild eines Rechtecks erscheinen, wie a b c d.

§ 36. Allerdings ist nicht sofort ersichtlich, wie gross die Entfernung der beiden Fluchtpunkte ist oder sein muss, da niemals beide innerhalb der Zeichnung, h?ufig dagegen weit ausserhalb derselben liegen. Will man sich nicht mit der Aushilfe begnügen, welche § 27 in Betreff entfernter Fluchtpunkte angegeben wurde, so ist in Fig. 30 eine genauere Berechnung gezeigt. A B und A C seien 2 verkürzte wagrechte Linien. Eine von A zum Horizont gezogene Senkrechte A P ist in 4 gleiche Teile geteilt und vom oberen Teilungspunkt a sind 2 Linien a b und a c geometrisch parallel mit A B und A C gezogen, indem an beliebigen Punkten der lezteren Linien z. B. in D und E 2 Senkrechte errichtet und D d und E e = A a gemacht wurden. c b kann nun als ein Viertel des Abstandes betrachtet werden, welchen die Fluchtpunkte der Linien A B und A C von einander haben und es l?sst sich hienach bemessen, ob derselbe hinreichend gross ist. W?re z. B. f der von P entfernteste Punkt der Zeichnung, so dürften die beiden Linien A B und B C nicht st?rker als hier der Fall ist gegen einander geneigt sein, der Abstand ihrer Fluchtpunkte dürfte nicht kleiner sein als 4 mal c b; denn c b ist = P f.

Fig. 30.

Oder: wenn A B als erste Linie gezeichnet ist, so muss, nachdem a b parallel mit A B gezogen und b c = P f gemacht ist, die zweite von A ausgehende Linie entweder parallel mit a c oder nach einem ferner liegenden Fluchtpunkt gerichtet sein, d. h. eine flachere Richtung haben, als A C.

Würden bei einer Vierteilung der erstgenannten Senkrechten nicht beide den Punkten b und c entsprechenden Punkte innerhalb der Zeichnung fallen, so halbiere man das dem Horizont zun?chst liegende Viertel und ziehe von hier aus die beiden Linien nach dem Horizont, also i g und i k statt a b und a c. Die Punkte, wo sie den Horizont treffen, hier g und k, müssen in diesem Fall einen Abstand haben, der wenigstens halb so gross ist, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte.

Verkürzte wagrechte Linien, deren Richtung nicht genau zu berechnen ist.

§ 37. Wo die perspectivische Richtung einer verkürzten wagrechten Linie ohne genauere Berechnung gefunden werden muss, bietet die Vergleichung mit einer unverkürzten Wagrechten das beste Mittel, um den Grad, in welchem jene nach dem Horizont hin fallen oder steigen muss, richtig zu beurteilen. Man halte zu diesem Zweck den Rand des Zeichenblattes, ein Lineal oder dergl. in der Richtung einer unverkürzten Wagrechten so zwischen Auge und Gegenstand, dass ein Endpunkt der verkürzten Linie, welche man zeichnen will, davon durchschnitten wird, wie in Fig. 34 der Punkt a von der Linie e f. übrigens ist auch die perspectivische L?nge einer verkürzten Linie von wesentlichem Einfluss auf die richtige oder unrichtige Wirkung ihrer perspectivischen Richtung. Je weniger die Stellung einer verkürzten Wagrechten zum Horizont von der Richtung des lezteren abweicht, desto weniger ver?ndert sich ihr Gr?ssenverh?ltnis zu andern Linien; je mehr sie der rechtwinkligen Stellung zum Horizont, ihr Fluchtpunkt dem Augpunkt sich n?hert, desto kürzer scheint sie zu werden, vgl. Fig. 23. Es kommt nun h?ufig vor, dass die perspectivische Richtung verkürzter Linien, wenn sie ganz der Regel entsprechend angegeben ist, dennoch eine falsche Wirkung macht, weil ihr perspectivisches Gr?ssenverh?ltnis verfehlt ist und zwar geschieht dies gew?hnlich in der Weise, dass sie zu lang gezeichnet wird (vgl. § 7).

Wagrechte Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzug?nglich ist.

Fig. 31.

§ 38. In Fig. 31–33 ist gezeigt, wie die Richtung verkürzter wagrechter Parallellinien, deren Fluchtpunkt nicht erreichbar ist, genau berechnet werden kann. Es seien in Fig. 31 gegeben die Wagrechten A B und A C sowie die Senkrechten A D und C E und sollen von D und E Linien parallel mit A B, von D und B 2 weitere parallel mit A C gezeichnet werden. Man bilde über A B mit der Horizontlinie und einer in B errichteten Senkrechten das Rechteck A B b P und errichte in i, dem Schnittpunkt seiner Diagonalen, eine Senkrechte, ziehe hierauf eine Linie von D nach b und von P durch den Punkt k, in welchem D b jene Senkrechte schneidet, eine Linie nach der verl?ngerten B b, so ist D G perspectivisch parallel mit A B.

Ebenso ist auf der andern Seite durch die Diagonalen des Rechtecks A C c P dessen perspectivischer Mittelpunkt gefunden und eine in diesem errichtete Senkrechte benüzt, um die Lage des Punktes d und hiemit die Richtung der mit A C parallelen Linie D d zu bestimmen.

Um von E eine mit A B parallele Linie zu zeichnen, kann leztere bis zu der durch E gehenden Senkrechten also bis s verl?ngert und die perspectivische Mittellinie des Rechtecks s A P c wie oben benüzt werden, um den Punkt t zu erhalten. Oder kann seitw?rts ein Rechteck s o H c gebildet, mittels seiner senkrechten Halbierungslinie oben der Punkt e gefunden und hierauf e E nach rechts verl?ngert werden.

Wie auf gleiche Weise die mit A C parallele Richtung der von B ausgehenden Linie B g und damit B r mittels der Halbierungslinie eines Rechtecks b a f h gefunden wird, ist aus den Linien der Figur zu ersehen. Statt der Linie A C k?nnte auch eine andere mit ihr parallele Linie z. B. d D verl?ngert und durch die Diagonalen y h und z b die Mittellinie von b h z y gefunden werden.

Um schliesslich den Punkt F zu erhalten, kann von C eine mit A B parallele Linie gezeichnet und in dem Punkte r, in welchem sie die verl?ngerte B g trifft, eine Senkrechte errichtet werden, welche die parallel mit A B von E ausgehende Linie in F schneidet.

Ist so das schr?g liegende Rechteck E D G F gegeben, so l?sst sich die schr?ge Mittellinie desselben (welche sich durch Verbindung des perspectivischen Halbierungspunktes von D G mit dem Schnittpunkt der Diagonalen D F und E G ergibt) verwenden, um von einem beliebigen Punkte der Linien D E oder G F eine mit D G parallele Linie zu ziehen, z. B. m n.

§ 39. In Fig. 32 sollen, nachdem A B und A C als Seiten eines Rechtecks gegeben sind, die beiden andern Seiten gezeichnet werden. Da der Raum nicht gestattet, die genannten Linien wie in Fig. 31 bis zu den 2 von C und B abw?rts gezogenen Senkrechten zu verlangen, so sind A a, B b und C c halbiert und durch die Halbierungspunkte die Linien g f e und h f k gezogen, welche perspectivisch parallel sind mit A B und A C. Entsprechend § 38 ist nun eine Senkrechte durch i, den Schnittpunkt der Diagonalen a e und c f gezogen, welche von der Linie f C in m geschnitten wird. Eine Linie von e durch m ergibt auf der Senkrechten A a den Punkt p und die mit A B parallele Richtung C p. In gleicher Weise ist die mit A C parallele Richtung B o durch die senkrechte Mittellinie des Rechtecks a b k f gefunden; statt dessen k?nnte auch, wie die Figur zeigt, ein seitw?rts gebildetes Rechteck zu demselben Zweck verwendet werden.

Fig. 32.

Bequemer w?re jedoch in diesem Fall das in Fig. 33 angewendete Verfahren, wo gleichfalls A B und A C die gegebenen Seiten eines zu bildenden Rechtecks sein sollen.

Fig. 33.

Wenn in einem von 6 Quadraten oder Rechtecken umschlossenen Raume zwischen 2 entgegengesezten Ecken Diagonallinien gezogen werden, wie in Fig. 40 die Linien a b und B c, so schneiden sich dieselben in der Mitte jenes Raums: p Fig. 40 ist die Mitte von A B b C c a G h. Eine durch p gezogene Senkrechte trifft also die Rechtecke a G h c und A B b C in dem Durchschnittspunkt ihrer Diagonalen. Ziehen wir nun in Fig. 33 von A, B und C bis zum Horizont die Senkrechten A a, B b und C c, so entsprechen die Linien B c und C b, welche sich in e schneiden, den Diagonalen B c und a b Fig. 40 und eine von e abw?rts gezogene Senkrechte ergibt o als perspectivische Mitte der Diagonale C B. Die Diagonalen A b und a B schneiden sich in k, A c und a C in i; g und m sind also die perspectivischen Halbierungspunkte von A B und A C; z ist Fluchtpunkt der Diagonale A o und folglich auch der von g nach der Mitte von B D gehenden Linie, da beide geometrisch parallel sind. g z und die verl?ngerte m o schneiden sich in n, A z und die verl?ngerte B n in D, womit die Form des Rechtecks gegeben ist.

Die verl?ngerten Mittellinien m n und g o k?nnen sodann benüzt werden, um entsprechend Fig. 31 und 32 weitere mit A B und A C parallele Linien zu ziehen. Soll z. B. von d nach links eine mit A C parallele Linie gezeichnet werden, so schneidet man die verl?ngerte m n durch D d in p und zieht von B durch p eine Linie nach f; d f ist somit parallel mit A C und B D.

§ 40. Muss eine gr?ssere Anzahl von Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzug?nglich ist, gezeichnet werden, so würde es zu umst?ndlich sein, jede einzelne genau zu berechnen. Man kann sich in diesem Fall begnügen, einige in passenden Zwischenr?umen zu konstruieren, um mit Hilfe derselben ohne weitere Berechnung die übrigen zu zeichnen. So k?nnen in Fig. 21, wenn die Richtung c d gegeben ist, mittels der senkrechten Halbierungslinie von c d e f die von g, h und i ausgehenden Parallellinien genau berechnet und sodann die zwischen ihnen liegenden ohne weitere Berechnung gezeichnet werden.

Oder k?nnen von 2 beliebigen Punkten der zuerst gezeichneten Wagrechten 2 Senkrechte bis zum Horizont gezogen und beide in eine gleiche Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden wie in Fig. 30 A P, B G und C F in je 4 Teile geteilt sind. Durch die Verbindung der entsprechenden Teilungspunkte erh?lt man perspectivische Parallellinien, zwischen welchen dann weitere gezogen werden k?nnen, vgl. Fig. 75 die Teilung von A D und B C in je 9 Teile. Je nach Bedürfnis kann sodann dieselbe Einteilung nach oben oder unten in der Verl?ngerung jener Senkrechten fortgesezt werden.

Ein weiteres Verfahren, die Richtung verkürzter Parallellinien ohne Hilfe ihres Fluchtpunkts zu bestimmen, ist in § 70 angegeben.

Verkürzte schr?ge Linien.

§ 41. In Fig. 36 ist a c eine nach der Ferne hin steigende, a g eine dorthin fallende Linie. (Wenn im Folgenden von fallenden oder steigenden Linien die Rede ist, so sind immer Linien gemeint, welche in Wirklichkeit oder geometrisch nach der Ferne hin fallen oder steigen). Bilden wir das Massdreieck dieser Linien (vgl. § 23) mittels der Wagrechten a b und der 2 Senkrechten b c und b g, so ist klar, dass eine steigende Linie wie a c, soweit man sie verl?ngern mag, niemals einen Punkt treffen kann, der unterhalb der wagrechten Linie ihres Massdreiecks oder deren Verl?ngerung liegt und ebenso wenig eine fallende Linie wie a g einen Punkt, der über jener Wagrechten liegt.

Also liegt der Fluchtpunkt einer verkürzten schr?gen Linie oberhalb des Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin steigt, unterhalb des Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin f?llt; vgl. die steigenden und fallenden Linien in Fig. 37.

§ 42. Es kann vorkommen, dass gem?ss dieser Regel eine steigende Linie so gezeichnet werden muss, dass ihr fernerer Endpunkt tiefer liegt als der n?here, vgl. a c Fig. 34. H?ufiger ist der umgekehrte Fall, dass Linien, welche in Wirklichkeit nach der Ferne hin fallen, perspectivisch nach dorthin steigen, wie a b und c d Fig. 35.

Fig. 34.

In solchen F?llen ist es n?tig, durch Hervorheben von geometrisch wagrechten Linien der n?chsten Umgebung, welche zu den betreffenden schr?gen Linien einen sichtbaren Gegensaz bilden, die Wirkung der lezteren zu unterstüzen, damit sie mit hinreichender Deutlichkeit das ausdrücken, was sie sein sollen. In Fig. 34 sind es z. B. die Balken der rechten Seite, in Fig. 35 die wagrechten Fugenlinien der anstossenden Mauer, welche es dem Beschauer deutlich machen, dass a c dort eine in Wirklichkeit von a nach c steigende, a b in Fig. 35 eine nach b fallende Linie ist.

Fig. 35.

§ 43. In Fig. 36 sind a b und e f wagrechte Parallellinien, ebenso a e, b f und c d; a c und e d sind schr?ge Parallellinien. Wenn zwischen parallelen Linien Verbindungslinien liegen, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang (§ 1, Fig. 1); also sind a e, b f und c d gleich lang, d. h. die Entfernung der schr?gen Parallellinien a c und e d und diejenige der wagrechten a b und e f von einander ist gleich gross. Da der Abstand dieser Parallellinien von einander nach der Ferne hin in gleichem Masse kleiner zu werden scheint, d. h. in gleicher Tiefe immer wieder derselbe ist – m n ist = o p u. s. w. – so müssen beide in gleicher Tiefe zusammentreffen, d. h. ihre Fluchtpunkte müssen in Einer senkrechten Linie liegen, wie Fig. 36 deutlich zeigt.

Fig. 36.

Dasselbe gilt selbstverst?ndlich für die fallenden Linien a g und e h. Mit andern Worten: der Fluchtpunkt einer verkürzten schr?gen Linie liegt senkrecht über oder unter dem Fluchtpunkt der wagrechten Linie ihres Massdreiecks.

So liegt in Fig. 37 der Fluchtpunkt der Linien a, b, c und d senkrecht über n, der Fluchtpunkt der Linien g und i senkrecht unter n, die Fluchtpunkte von e, f und k liegen in einer Senkrechten, welche durch den Fluchtpunkt der Wagrechten o und p geht.

Ist demnach a c Fig. 36 als Richtung einer schr?gen Linie, a b als Richtung der wagrechten Linie ihres Massdreiecks angenommen, so ist auch die perspectivische Richtung aller mit a c parallelen Linien gegeben, indem a b bis zum Horizont, a c bis zu der senkrechten durch den Fluchtpunkt von a b gehenden Linie verl?ngert und so der die Richtung der parallelen Linien bestimmende Fluchtpunkt gefunden wird.

§ 44. Befinden sich in einer verkürzten senkrechten Fl?che steigende und fallende Linien, welche in Wirklichkeit denselben Neigungswinkel haben, so liegen ihre Fluchtpunkte in gleicher Entfernung vom Horizont.

Solche Linien sind z. B. a c und a g Fig. 36; a und g, d und i, f und k Fig. 37. In Fig. 36 ist a c g in Wirklichkeit ein gleichschenkliges Dreieck, also muss eine von seiner Spize a nach der Grundlinie c g gezogene Wagrechte die leztere in ihrem Halbierungspunkt b treffen; werden a c und a g verl?ngert und an beliebiger Stelle durch eine Senkrechte s m verbunden, so wird leztere durch die verl?ngerte a b gleichfalls halbiert, also muss auch z, der Fluchtpunkt von a b, in der Mitte liegen zwischen x und y, den Fluchtpunkten von a g und a c.

Fig. 37.

In Fig. 37 ist h h parallel mit i i (da beide denselben Fluchtpunkt haben) und die Senkrechte y z wird von der Wagrechten m n in der Mitte durchschnitten. Ebenso muss n in der Mitte liegen zwischen den Fluchtpunkten der Linien h, i, g und c, d, a; die Fluchtpunkte von e, f und k müssen gleich weit entfernt sein vom Fluchtpunkt der Wagrechten o und p.

Berechnung der Richtung schr?ger Linien ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte.

§ 45. Man bedient sich jedoch, um die Richtung verkürzter schr?ger Linien zu berechnen, selten ihrer Fluchtpunkte, da dieselben in den meisten F?llen ausserhalb der Zeichenfl?che liegen. Den n?chstliegenden Ersaz bietet die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks. Ist Richtung und L?nge der wagrechten sowie die H?he der senkrechten Linie eines solchen Dreiecks gegeben oder leicht zu berechnen, so ist damit auch die Richtung (und L?nge) der betreffenden schr?gen Linien gefunden.

Nehmen wir z. B. an, dass in Fig. 38 die Linie A C gegeben sei und darüber ein Giebel von beliebiger H?he, dessen 2 Seiten mit A C in Wirklichkeit ein gleichschenkliges Dreieck bilden, gezeichnet werden soll, so kann k als perspectivische Mitte von A C durch die Diagonalen eines Rechtecks A C E D oder A C g f gefunden und in k eine Senkrechte errichtet werden, in welcher die Spize des Giebeldreiecks liegen muss. – Ist das Dreieck A B k gegeben, so dass der Punkt C bestimmt werden muss, so bildet man mit A k und einer beliebigen Parallellinie, z. B. i D, ein Rechteck A k i D und zieht eine Linie von D durch die Mitte von i k nach der verl?ngerten A k, wodurch C k = A k gemacht ist.

Fig. 38.

Soll, nachdem D F und D E gegeben sind, von E abw?rts eine Linie gezeichnet werden, welche denselben Neigungswinkel hat, wie D F, so wird leztere verl?ngert bis e, wo sie die senkrechte Mittellinie trifft und von e durch E die Linie E G gezogen. – Oder kann von F eine mit D E parallele Linie nach links und die senkrechte Mittellinie von E D f g gezogen, die von y nach H H gehende Senkrechte halbiert und hierauf durch eine Linie von r durch diesen Halbierungspunkt der Punkt G bestimmt werden.

§ 46. In Fig. 39 ist angenommen, dass die perspectivische Richtung und L?nge der Linien A B und A C, die H?he A a und die Breite a c bestimmt seien, womit auch die Richtung der schr?gen Linie A c gegeben ist, in welcher die inneren Ecken der Stufen liegen müssen; die ?usseren Ecken liegen in einer mit A c parallel von a ausgehenden Linie, deren Richtung gefunden wird, indem man c d = b c macht. Eine Linie von d nach dem Fluchtpunkt von A C ergibt e, eine Senkrechte von hier den Punkt f. Bildet man hierauf das Rechteck A C h g, so kann mittels seiner Diagonalen m n als senkrechte Mittellinie gefunden werden; C m n ist demnach = A m n und die Ecken der ferneren Stufen k?nnen durch die von a und k nach dem Fluchtpunkt von A C gezogenen Linien und die entsprechenden Senkrechten gefunden werden. (übrigens kann dieselbe Aufgabe auch ohne Hilfe der zweiten schr?gen Linie gel?st werden: man macht a k und k g = A a, zieht von diesen Punkten aus die mit A C parallelen Linien und erh?lt die Punkte d und f durch die in c und e errichteten Senkrechten.) Die übrigen Linien der Figur sind teils senkrecht, teils sind sie parallel mit A C oder mit A B.

Fig. 39.

§ 47. Ein Beispiel, wie die Richtung verkürzter schr?ger Parallellinien ohne Hilfe ihres Fluchtpunkts berechnet werden kann, ist auch in Fig. 31 enthalten, wo, um den Punkt F zu finden, B r und C r gezogen und in r eine Senkrechte errichtet wurde, welche auf der von E ausgehenden Wagrechten den Punkt F und hiemit die mit D E parallele Richtung der Linie G F ergibt. Auf dieselbe Weise kann in Fig. 40, wenn das Dreieck A B D und die Wagrechte A C gegeben sind, die Richtung der mit A D parallelen Linie C E berechnet werden, indem man von C eine mit A B, von d und D zwei mit A C parallele Linien zieht und in e eine Senkrechte errichtet. Ebenso kann F n gefunden werden durch die Linien F m und m n.

Fig. 40.

In Fig. 38 kann von p aus eine Linie parallel mit A B gezeichnet werden mittels der Linien k x, p x und einer in x errichteten Senkrechten. Oder kann man in A und p 2 Senkrechte errichten, B b parallel mit A C, b o parallel mit A p ziehen und hierauf durch eine weitere mit A C parallele Linie von o aus den Punkt n bestimmen.

Soll von D aus abw?rts eine mit A B parallele Linie gezeichnet werden, so kann durch die Verl?ngerung von A B, A C und D E ein Dreieck A c d gebildet und d h = c d gemacht werden, wodurch D h parallel mit B A ist. Oder kann, nachdem das Dreieck A B b gezeichnet ist, D a = A b gemacht und von a eine mit A C und b B parallele Linie bis zu der Senkrechten B k gezogen werden, wodurch e D parallel mit A B ist und von D aus verl?ngert werden kann. Es k?nnte ferner, wenn F z geometrisch = y z ist, durch den Halbierungspunkt von D z eine Linie von i nach der verl?ngerten y z gezogen werden.

§ 48. In Fig. 41 sei A G a und A o gegeben. Um die Richtung der parallel mit A a von B, i und o ausgehenden Linien zu berechnen, ist durch den Halbierungspunkt der Senkrechten n a eine mit A G parallele Linie nach f und von hier aus f g als wagrechte Mittellinie des Daches gezogen, welche nun ?hnlich wie die Mittellinien in Fig. 31 benüzt werden kann, um zwischen A B und a p beliebige mit A a parallele Linien z. B. B b, i k und o p zu zeichnen: man zieht a B und A r b, b i und B s k u. s. w. Die Richtung der Linie C c ist auf die in § 45 Fig. 38 angegebene Weise berechnet: d h ist = n a gemacht und von h eine Linie durch C nach der verl?ngerten m z gezogen. Der Punkt F ergibt sich durch eine parallel mit A G von E nach der Verl?ngerung von b B gezogenen Linie; eine Senkrechte von F abw?rts schneidet die von c nach rechts gehende Wagrechte in e, womit E e gegeben ist.

Fig. 41.

Sind auf solche Weise einige Parallellinien gezeichnet, so kann die perspectivische Richtung weiterer zwischen ihnen liegender Linien auch ohne genaue Berechnung jeder einzelnen ohne Schwierigkeit bestimmt werden.

Verschiedene Beispiele. Treppen, D?cher, Dachfenster, Turmhelme.

§ 49. Die Anwendung des vorangegangenen ist in Fig. 42–60 an weiteren Beispielen gezeigt. Der Gleichartigkeit des Gegenstands wegen befinden sich unter denselben auch solche, bei denen die im folgenden Abschnitt besprochene Form des verkürzten Quadrats als gegeben betrachtet werden muss.

Für die Construction der Treppe Fig. 42 nehmen wir die H?he und Breite der untersten Stufe, also die perspectivische L?nge der Linien B b und b c, sowie die Linie A B als gegeben an. Da leztere eine unverkürzte Wagrechte ist, so muss der Augpunkt Fluchtpunkt der Linie b c sein. Wird nun b m = B b gemacht, in c eine Senkrechte errichtet und von m eine Linie nach P gezogen, so ist c n die perspectivische H?he der zweiten Stufe und es ist durch b n die Richtung der schr?gen Linie gegeben, in welcher die vorderen Ecken der folgenden Stufen liegen müssen. Hierauf wird auf der verl?ngerten B m die H?he B b mit dem Zirkel so oft wiederholt, als n?tig ist, um die gewünschte Zahl von Stufen zu erhalten und werden von den Teilungspunkten Linien nach P gezogen. Die Punkte, in welchen leztere die Linie b d schneiden, sind die vorderen Ecken der Stufen, die hinteren dem Punkte c entsprechenden Ecken ergeben sich durch die von o, p u. s. w. abw?rts gezogenen Senkrechten. Auf der andern Seite schneiden sich a P und die von c nach links gezogene Wagrechte in y, eine Wagrechte von n nach links und eine in y errichtete Senkrechte schneiden sich in z u. s. w.

Fig. 42.

Um von F aus die mit a D und b d parallele Linie des Gel?nders zu zeichnen, ist durch die Diagonalen eines Rechtecks g h d D dessen wagrechte Mittellinie bestimmt, welche von der Linie F d in i geschnitten wird, worauf die von h durch i nach D d gezogene Diagonale den Punkt f und hiemit F f als Parallele von h d ergibt.

§ 50. Fig. 43 zeigt 2 h?ufige Formen von Dachfenstern. m y und n z sind parallel mit A D zu zeichnen, y z, o p, m n parallel mit A C; die H?he m o sowie die L?nge m y sind beliebig, vorausgesezt, dass o y und p z als nach y und z hin steigende Linien gezeichnet sind.

Fig. 43.

Bei der zweiten Form ist d f parallel mit A D; die H?he des Giebels kann beispielsweise in i oder in c angenommen werden; e f, i k, c b sind parallel mit A B; die Punkte b oder k liegen sodann da, wo die von c oder i parallel mit A B gezogenen Wagrechten sich mit einer schr?gen Linie schneiden, welche von a, der Mitte von d h, parallel mit A D aufsteigt. Durch den Punkt b, in welchem die leztgenannte Linie und die Firstlinie des Hauptdaches sich schneiden, ist c b als gr?sste H?he gegeben, welche für die obere Wagrechte des Dachfensters angenommen werden darf, d. h. eine von seiner Giebelspize parallel mit A B gezogene Wagrechte darf die von a parallel mit A D ausgehende Linie nicht jenseits des Punktes b, nicht oberhalb der Firstlinie D b treffen, es w?re denn, dass eine entsprechende Fortsezung auf der andern Dachseite angenommen würde.

§ 51. In Fig. 44 seien a b und b c als zwei Seiten eines quadratischen Turmes gegeben und soll darüber ein Dach gezeichnet werden, dessen Spize über der Mitte des ganzen Turmes, d. h. seiner quadratischen Grundfl?che liegt. Zieht man die mit a b und b c parallelen Linien d c und a d, so muss die Spize in einer Senkrechten liegen, welche in dem Schnittpunkte der Diagonalen a c und b d errichtet wird; die H?he der Spize ist beliebig. Bequemer wird in den meisten F?llen die Mitte des Ganzen auf die § 39 angegebene Weise gefunden: man zieht an beliebiger Stelle die mit a b und b c parallelen Linien e f und f g (oder benüzt statt derselben die Horizontlinie), um mittels der Diagonalen c e und a g den gewünschten Punkt zu erhalten, in welchem jene Senkrechte zu errichten ist.

Fig. 44.

Fig. 45.

H?ufig kann man sich auch damit begnügen, die 2 ?usseren Senkrechten z. B. in Fig. 44 e a und g c, nach oben zu verl?ngern und die Spize in die Mitte zwischen beide zu verlegen. Das Resultat stimmt zwar nicht immer vollst?ndig mit dem der genauen Berechnung überein, doch ist die Abweichung eine so geringe, dass die richtige Wirkung nicht dadurch beeintr?chtigt wird; vgl. Fig. 45.

§ 52. In Fig. 45 sind zuerst von a, b und c aus 3 Linien nach einem tiefer liegenden Punkte o der senkrechten Mittellinie gezogen, hierauf an beliebiger Stelle die mit a b und b c parallelen Linien k m und m n und von den Punkten k, m und n 3 Linien nach der h?her liegenden Spize p.

Die Construction von Fig. 46 ist hienach leicht zu verstehen. In Fig. 47 sind von a, b und c aus zuerst 3 Linien nach dem h?her in der Mittellinie liegenden Punkt p, hierauf die mit a b und b c parallelen d e und e f, und nach dem tiefer liegenden Punkt o die Linien d o, e o und f o gezogen.

Fig. 46.

Fig. 47.

§ 53. Bei der in Fig. 48 und 49 dargestellten Dachform liegen die Punkte E und F senkrecht über den Punkten m und n, welche ihrerseits in der Mittellinie a b des Rechtecks A B C D liegen. m a ist in Wirklichkeit = n b; denken wir uns die senkrecht über A B und C D stehenden Giebelw?nde A B d und D C f hinzugezeichnet, so w?re auch E d = F f. Gew?hnlich haben die beiden schr?gen Dreiecke (A B E und D C F) denselben Neigungswinkel wie die anstossenden Breitseiten des Daches. In diesem Fall müssen die senkrecht unter E und F liegenden Punkte m und n Mittelpunkte zweier Quadrate sein, deren Seiten = A B sind, so dass m a = A a w?re. Doch ist die Form auch dann eine richtige, wenn angenommen wird, dass der Neigungswinkel jener Fl?chen (A B E und A E F D) ein verschiedener sei. Die Hauptsache ist, dass E und F von d und f oder m und n von a und b gleich weit entfernt sind, mit andern Worten, dass die beiden Dreiecke A B E und C D F die gleiche Neigung haben. Zu diesem Zweck bestimme man in Fig. 48, angenommen, dass A B E und A D gegeben seien, die perspectivische Mitte der Firstlinie in h (mittels A C und B D oder B z und D y) bilde das Rechteck E h e c und ziehe c F durch die Mitte von h e, so ist F h perspectivisch = E h. Oder man verbinde (Fig. 49) den Halbierungspunkt r der Linie A D mit h, der wie oben gefundenen Mitte der Firstlinie, ziehe die Diagonale E D und durch den Punkt, in welchem E D und r h sich schneiden, eine Linie von A nach F.

Fig. 48.

Fig. 49.

Oder auch man bestimme, nachdem A B E und A D (Fig. 49) gegeben sind, die perspectivische Mitte von A B und C D, also die Punkte a und b, ziehe von a durch E eine Linie nach der senkrechten Mittellinie des Ganzen (errichtet im Schnittpunkte der Diagonalen B z und D y) und von o eine Linie nach b, welche die Firstlinie in F schneidet.

§ 54. Um das Dach Fig. 50 zu construieren, wird zuerst die einfache Dachform C A a g h und an beliebiger Stelle die Wagrechte e f parallel mit A a, sowie e c parallel mit A C gezeichnet. Die perspectivische Mitte von A C ist m, eine Linie von hier durch den Schnittpunkt i ergibt den Punkt n als Mitte der Firstlinie. Die Lage des einen der beiden Punkte D oder d wird beliebig angenommen, die des zweiten durch die Diagonalen D c und e d, wie in Fig. 49, § 53, gefunden.

Fig. 50.

H?ufig wird es auch genügen, bei Darstellung von Dachformen wie Fig. 48–50 zuerst die gew?hnliche Dachform mit senkrechten Giebelw?nden oder die perspectivische Mitte der Firstlinie anzugeben und nach dem Ermessen des Auges den ferneren der beiden geometrisch gleich grossen Teile kleiner zu zeichnen, als den n?heren, also z. B. in Fig. 50 dafür zu sorgen, dass n d kleiner sei als D n, d h kleiner als g D.

§ 55. Wenn in einem Dach von der Fig. 48–50 dargestellten Form Dachfenster wie in Fig. 43 gezeichnet werden sollen, so muss die schr?ge Mittellinie der betreffenden Seite gesucht werden. In Fig. 51 z. B. muss die Linie e d perspectivisch parallel sein mit c D; w?re das Dachfenster nicht in der Mitte von A B D, so müsste eine mit c D parallele Linie entsprechend der Linie a b in Fig. 43 gezeichnet und sodann wie dort weiter verfahren werden.

Fig. 51.

Auf der anstossenden Seite A C E D müssen a b, f g u. s. w. parallel sein mit der Mittellinie m n. In Fig. 53 w?re f c am unteren, c z am oberen Teil massgebend für die schr?gen Linien eines Dachfensters.

§ 56. Fig. 52, ein Staffelgiebel, ist so construiert, dass zuerst die einfache Dachform a b c g e und die parallel mit a c von f und d ausgehenden Linien gezeichnet wurden (d g kleiner als f c). Um die H?he der einzelnen Abs?ze zu bestimmen, ist in k eine über a hinausreichende Senkrechte k z errichtet und in die erforderliche Anzahl von gleichen Teilen geteilt. Durch die Teilungspunkte sind die Linien m n, o p u. s. w. und nach dem Fluchtpunkt der andern Seite m i, o h u. s. w. gezogen. Das Weitere ist aus den Constructionslinien der Fig. 52 leicht zu ersehen.

Fig. 52.

§ 57. Die Form eines Mansardendaches Fig. 53 ist stets eine solche, dass die 4 Seiten des unteren und ihrerseits diejenigen des oberen Teiles denselben Neigungswinkel haben. Es muss daher, wenn A B und A C gegeben sind, von A C ein Teil A f abgeschnitten werden, welcher perspectivisch = A B ist, so dass die senkrechte Linie, in welcher die Punkte k und d liegen müssen, über der Mitte eines Quadrats (A B p f) oder über dem Schnittpunkt der Diagonalen B m und f n errichtet werden kann. Nachdem nun A a, a b, B b, a d und b d gezeichnet sind (vergl. § 52, Fig. 47), so werden die von a, d und k parallel mit A C ausgehenden Linien gezogen; i ergibt sich auf die § 53, Fig. 48 gezeigte Weise (nachdem z als Mitte der Firstlinie bestimmt ist), e durch eine von i abw?rts gezogene Senkrechte, g durch eine Linie von i nach C.

Fig. 53.

§ 58. Der Turmhelm Fig. 54 und 55 ist eine an Bauten des romanischen Stils h?ufige Form: die 4 Seiten des quadratischen Turms schliessen oben mit 4 Giebeln ab, von deren Spizen 4 Linien nach der Turmspize gehen und so mit den Giebellinien 4 rautenf?rmige Fl?chen bilden. Zun?chst müssen die Giebelspizen in gleicher H?he liegen; angenommen, dass in Fig. 54 a b d und a c gegeben seien, so k?nnen die senkrechten Ecklinien von a und b nach oben verl?ngert werden, bis sie eine parallel mit a b durch d gezogene Wagrechte treffen; eine Wagrechte von g aus parallel mit a c und eine Senkrechte über der perspectivischen Mitte von a c ergeben sodann den Punkt f, eine gleichfalls mit a c parallele Linie von h und eine mit a b parallele Linie von f aus den Punkt e (vergl. Fig. 56).

Fig. 54.

Fig. 55.

In Fig. 55 ist die Stellung des Turmes eine solche, dass nur eine der oberen 4 Fl?chen und keine der Umrisslinien des dritten Giebelfeldes zu sehen ist. Die H?he des zweiten Giebels ist hier dadurch gefunden, dass, nachdem a c f und die Linie a b gezeichnet waren, von f eine mit a b parallele Wagrechte bis zur senkrechten Mittellinie des ganzen Turmes, d. h. bis o und von hier eine mit a c parallele Linie bis zu der in der Mitte von a b errichteten Senkrechten gezogen wurde, wodurch d als Spize des rechtseitigen Giebels gegeben ist.

Fig. 56.

So k?nnte auch in Fig. 54 statt der oben angewendeten Construction von d eine mit a c parallele Wagrechte nach der senkrechten Mittellinie, durch den so gewonnenen Punkt o eine mit a b parallele Linie und hierauf b e perspectivisch parallel mit a f gezogen werden (vergl. Fig. 56).

Ferner muss, damit a i eine gerade Linie, a d i f eine Fl?che sei, a d und a f = d i und f i sein; a d f und i d f sind in Wirklichkeit 2 einander gleiche Dreiecke, o i muss daher = k o sein. Oder kann zu demselben Zweck die senkrechte Mittellinie eines Giebelfeldes z. B. m f benüzt werden: f p wird = m f gemacht und eine mit a b parallele Linie von p nach der senkrechten Mittellinie des ganzen Turmes gezogen.

§ 59. Soll ein viereckiges Türmchen an beliebiger Stelle auf ein Giebeldach gesezt werden, wie in Fig. 57, so geht die Construction am besten von der mit a b parallelen Linie c d aus, deren L?nge nach Gutdünken bestimmt wird. Man errichtet über c und d 2 Senkrechte, bildet mit denselben ein Rechteck m n o p und zieht aus n durch den Halbierungspunkt von m o eine Linie, welche in f die verl?ngerte o p trifft und damit die Breite der ganzen Seite angibt. Für die perspectivische Breite der anstossenden Seite p g e c sind, wenn sie genau berechnet werden soll, die im folgenden Abschnitt enthaltenen Regeln über die Construction des Quadrats massgebend.

Fig. 57.

In Fig. 58 ist ein ?hnliches Türmchen auf die Mitte eines Giebeldaches gesezt. Ist wie hier die Grundfl?che ein Quadrat, d. h. a b = b c, so ist wie bei Fig. 46 zu verfahren, nachdem von i, der Mitte der Firstlinie, die Linien i a, i b und i c gezogen sind. Ist a b l?nger als b c oder umgekehrt, so schneide man von der Mitte der Firstlinie aus 2 perspectivisch gleich grosse Teile i d und i e entsprechend der gewünschten Gr?sse des oberen Türmchens ab, ziehe von d und e 2 schr?ge Linien parallel mit den Seitenlinien des Dachs abw?rts und verfahre wie bei Fig. 57.

Fig. 58.

In Fig. 59 ist zuerst der Turmaufsaz über a b g h wie oben mittels der Linien d a, d b und d c construiert (vergl. Fig. 55, 56 und 57), die Punkte f und e ergeben sich sodann durch die senkrechten Mittellinien der beiden Seiten des Turmaufsazes.

Fig. 59.

§ 60. Fig. 60 ist zuerst geradlinig wie Fig. 47 construiert, wodurch die für die perspectivische Schweifung der Ecklinien wichtigen Punkte n, m und k gewonnen werden.

Fig. 60.

In Fig. 61 ist zuerst a b c d gezeichnet, sodann (vergl. Fig. 45) die Lage der Punkte k m n bestimmt, von welchen die geschweiften Linien ausgehen, ferner die Lage der 3 Punkte, an welchen sie ihre st?rkste Ausladung haben. Diese Punkte liegen ebenso wie k m n in 2 mit a b und b c parallelen Linien und ergeben sich, je nachdem die Ausladung eine st?rkere oder schw?chere ist, durch Verl?ngerung der senkrechten Ecklinien, wie x y z oder dadurch, dass von andern in gleicher H?he liegenden Punkten der Linien a d, b d, c d, oder ihrer Verl?ngerung, z. B. von e, f und g, 3 Senkrechte und zwischen diesen in entsprechender H?he 2 mit a b und b c parallele Wagrechte wie o h und o i gezogen werden.

Fig. 61.

§ 61. In Fig. 62 ist schliesslich gezeigt, wie auf Grund der bisher angewandten Constructionslinien vorspringende D?cher zu zeichnen sind.

Fig. 62.

Nachdem A als vordere Ecke des Daches angenommen wurde, sind die mit a b, b c, a c und a t6 parallelen Linien A B, B C, A C und A D gezeichnet. C d und e f sind parallel mit A D, m n und o p mit A C. z y ist geometrisch = B b, aber entfernter, muss also entsprechend kleiner sein als B b. Selbstverst?ndlich wird die Mitte der Giebelseiten bezeichnet durch die von b und h abw?rts gezogenen Senkrechten und dürfen hiezu nicht die Punkte B und g benüzt werden.

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